Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25497 / 24407
↖ ↑ ↗
← S 65.762217°
E100.118408°		 ← 501.51 m → S 65.762217°
E100.129394°		 →
↑
501.46 m
↓
↑
501.46 m
↓
S 65.766727°
E100.118408°		 ← 501.43 m →
251 467 m²		 S 65.766727°
E100.129394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778121948242188 y=0.744857788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778121948242188 × 215)
    floor (0.778121948242188 × 32768)
    floor (25497.5)     		tx = 25497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744857788085938 × 215)
    floor (0.744857788085938 × 32768)
    floor (24407.5)     		ty = 24407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25497 / 24407 ti = "15/25497/24407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25497/24407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25497 ÷ 215
    25497 ÷ 32768     		x = 0.778106689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24407 ÷ 215
    24407 ÷ 32768     		y = 0.744842529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778106689453125 × 2 - 1) × π
    0.55621337890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74739586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744842529296875 × 2 - 1) × π
    -0.48968505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53839098260684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74739586} λ = 1.74739586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53839098260684))-π/2
    2×atan(0.214726322006417)-π/2
    2×0.211514559140521-π/2
    0.423029118281042-1.57079632675     		φ = -1.14776721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74739586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.118408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14776721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.762217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25497 KachelY 24407 1.74739586 -1.14776721 100.118408 -65.762217
    Oben rechts KachelX + 1 25498 KachelY 24407 1.74758761 -1.14776721 100.129394 -65.762217
    Unten links KachelX 25497 KachelY + 1 24408 1.74739586 -1.14784592 100.118408 -65.766727
    Unten rechts KachelX + 1 25498 KachelY + 1 24408 1.74758761 -1.14784592 100.129394 -65.766727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14776721--1.14784592) × R
    7.87099999999263e-05 × 6371000     		dl = 501.461409999531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14776721--1.14784592) × R
    7.87099999999263e-05 × 6371000     		dr = 501.461409999531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74739586-1.74758761) × cos(-1.14776721) × R
    0.000191750000000157 × 0.410524431162715 × 6371000     		do = 501.512758192707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74739586-1.74758761) × cos(-1.14784592) × R
    0.000191750000000157 × 0.410452658209189 × 6371000     		du = 501.425077535591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14776721)-sin(-1.14784592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410524431162715-0.410452658209189)×R²
    abs(1.74758761-1.74739586)×7.17729535263389e-05×R²
    0.000191750000000157×7.17729535263389e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.17729535263389e-05×40589641000000     		ar = 251467.310752744m²