Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 25496 / 40824
↖ ↑ ↗
← S 40.413496°
W 39.946289°		 ← 465.09 m → S 40.413496°
W 39.940796°		 →
↑
465.02 m
↓
↑
465.02 m
↓
S 40.417678°
W 39.946289°		 ← 465.06 m →
216 271 m²		 S 40.417678°
W 39.940796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.389045715332031 y=0.622932434082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.389045715332031 × 216)
    floor (0.389045715332031 × 65536)
    floor (25496.5)     		tx = 25496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622932434082031 × 216)
    floor (0.622932434082031 × 65536)
    floor (40824.5)     		ty = 40824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25496 / 40824 ti = "16/25496/40824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25496/40824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25496 ÷ 216
    25496 ÷ 65536     		x = 0.3890380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40824 ÷ 216
    40824 ÷ 65536     		y = 0.6229248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3890380859375 × 2 - 1) × π
    -0.221923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.69719427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6229248046875 × 2 - 1) × π
    -0.245849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.772359326678345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69719427} λ = -0.69719427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.772359326678345))-π/2
    2×atan(0.461921956877029)-π/2
    2×0.432723879251342-π/2
    0.865447758502684-1.57079632675     		φ = -0.70534857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69719427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.946289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70534857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.413496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25496 KachelY 40824 -0.69719427 -0.70534857 -39.946289 -40.413496
    Oben rechts KachelX + 1 25497 KachelY 40824 -0.69709839 -0.70534857 -39.940796 -40.413496
    Unten links KachelX 25496 KachelY + 1 40825 -0.69719427 -0.70542156 -39.946289 -40.417678
    Unten rechts KachelX + 1 25497 KachelY + 1 40825 -0.69709839 -0.70542156 -39.940796 -40.417678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70534857--0.70542156) × R
    7.29900000000505e-05 × 6371000     		dl = 465.019290000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70534857--0.70542156) × R
    7.29900000000505e-05 × 6371000     		dr = 465.019290000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69719427--0.69709839) × cos(-0.70534857) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.761385620346375 × 6371000     		do = 465.093533039535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69719427--0.69709839) × cos(-0.70542156) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.761338298954902 × 6371000     		du = 465.064626697518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70534857)-sin(-0.70542156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761385620346375-0.761338298954902)×R²
    abs(-0.69709839--0.69719427)×4.73213914738979e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.73213914738979e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.73213914738979e-05×40589641000000     		ar = 216270.74361039m²