Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25494 / 24411
↖ ↑ ↗
← S 65.780251°
E100.085449°		 ← 501.16 m → S 65.780251°
E100.096436°		 →
↑
501.08 m
↓
↑
501.08 m
↓
S 65.784758°
E100.085449°		 ← 501.07 m →
251 100 m²		 S 65.784758°
E100.096436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778030395507812 y=0.744979858398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778030395507812 × 215)
    floor (0.778030395507812 × 32768)
    floor (25494.5)     		tx = 25494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744979858398438 × 215)
    floor (0.744979858398438 × 32768)
    floor (24411.5)     		ty = 24411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25494 / 24411 ti = "15/25494/24411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25494/24411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25494 ÷ 215
    25494 ÷ 32768     		x = 0.77801513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24411 ÷ 215
    24411 ÷ 32768     		y = 0.744964599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77801513671875 × 2 - 1) × π
    0.5560302734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74682062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744964599609375 × 2 - 1) × π
    -0.48992919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53915797300076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74682062} λ = 1.74682062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53915797300076))-π/2
    2×atan(0.214561692122957)-π/2
    2×0.21135718003532-π/2
    0.422714360070641-1.57079632675     		φ = -1.14808197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74682062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.085449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14808197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.780251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25494 KachelY 24411 1.74682062 -1.14808197 100.085449 -65.780251
    Oben rechts KachelX + 1 25495 KachelY 24411 1.74701237 -1.14808197 100.096436 -65.780251
    Unten links KachelX 25494 KachelY + 1 24412 1.74682062 -1.14816062 100.085449 -65.784758
    Unten rechts KachelX + 1 25495 KachelY + 1 24412 1.74701237 -1.14816062 100.096436 -65.784758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14808197--1.14816062) × R
    7.86500000000689e-05 × 6371000     		dl = 501.079150000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14808197--1.14816062) × R
    7.86500000000689e-05 × 6371000     		dr = 501.079150000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74682062-1.74701237) × cos(-1.14808197) × R
    0.000191749999999935 × 0.410237397051516 × 6371000     		do = 501.162106055796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74682062-1.74701237) × cos(-1.14816062) × R
    0.000191749999999935 × 0.410165668652453 × 6371000     		du = 501.074479828161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14808197)-sin(-1.14816062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410237397051516-0.410165668652453)×R²
    abs(1.74701237-1.74682062)×7.172839906322e-05×R²
    0.000191749999999935×7.172839906322e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.172839906322e-05×40589641000000     		ar = 251099.928406006m²