Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 25492 / 57996
↖ ↑ ↗
← N 20.272503°
W109.984131°		 ← 286.51 m → N 20.272503°
W109.981384°		 →
↑
286.50 m
↓
↑
286.50 m
↓
N 20.269927°
W109.984131°		 ← 286.51 m →
82 086 m²		 N 20.269927°
W109.981384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.194492340087891 y=0.442478179931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.194492340087891 × 217)
    floor (0.194492340087891 × 131072)
    floor (25492.5)     		tx = 25492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442478179931641 × 217)
    floor (0.442478179931641 × 131072)
    floor (57996.5)     		ty = 57996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 25492 / 57996 ti = "17/25492/57996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/25492/57996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25492 ÷ 217
    25492 ÷ 131072     		x = 0.194488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57996 ÷ 217
    57996 ÷ 131072     		y = 0.442474365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.194488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.61102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.91958521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442474365234375 × 2 - 1) × π
    0.11505126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.361444223135223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.91958521} λ = -1.91958521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361444223135223))-π/2
    2×atan(1.43540095758636)-π/2
    2×0.962309128060656-π/2
    1.92461825612131-1.57079632675     		φ = 0.35382193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.91958521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -109.984131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35382193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.272503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25492 KachelY 57996 -1.91958521 0.35382193 -109.984131 20.272503
    Oben rechts KachelX + 1 25493 KachelY 57996 -1.91953727 0.35382193 -109.981384 20.272503
    Unten links KachelX 25492 KachelY + 1 57997 -1.91958521 0.35377696 -109.984131 20.269927
    Unten rechts KachelX + 1 25493 KachelY + 1 57997 -1.91953727 0.35377696 -109.981384 20.269927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35382193-0.35377696) × R
    4.4970000000033e-05 × 6371000     		dl = 286.50387000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35382193-0.35377696) × R
    4.4970000000033e-05 × 6371000     		dr = 286.50387000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.91958521--1.91953727) × cos(0.35382193) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938055323850445 × 6371000     		do = 286.506241447774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.91958521--1.91953727) × cos(0.35377696) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938070904355358 × 6371000     		du = 286.511000135017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35382193)-sin(0.35377696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938055323850445-0.938070904355358)×R²
    abs(-1.91953727--1.91958521)×1.55805049134594e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55805049134594e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55805049134594e-05×40589641000000     		ar = 82085.8286589931m²