Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 25492 / 26004
↖ ↑ ↗
← N 34.795761°
W 39.968262°		 ← 501.57 m → N 34.795761°
W 39.962769°		 →
↑
501.59 m
↓
↑
501.59 m
↓
N 34.791250°
W 39.968262°		 ← 501.60 m →
251 591 m²		 N 34.791250°
W 39.962769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388984680175781 y=0.396797180175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388984680175781 × 216)
    floor (0.388984680175781 × 65536)
    floor (25492.5)     		tx = 25492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.396797180175781 × 216)
    floor (0.396797180175781 × 65536)
    floor (26004.5)     		ty = 26004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25492 / 26004 ti = "16/25492/26004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25492/26004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25492 ÷ 216
    25492 ÷ 65536     		x = 0.38897705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26004 ÷ 216
    26004 ÷ 65536     		y = 0.39678955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38897705078125 × 2 - 1) × π
    -0.2220458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.69757776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39678955078125 × 2 - 1) × π
    0.2064208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.64849037806012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69757776} λ = -0.69757776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.64849037806012))-π/2
    2×atan(1.91265126817267)-π/2
    2×1.08904846564976-π/2
    2.17809693129952-1.57079632675     		φ = 0.60730060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69757776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.968262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60730060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.795761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25492 KachelY 26004 -0.69757776 0.60730060 -39.968262 34.795761
    Oben rechts KachelX + 1 25493 KachelY 26004 -0.69748189 0.60730060 -39.962769 34.795761
    Unten links KachelX 25492 KachelY + 1 26005 -0.69757776 0.60722187 -39.968262 34.791250
    Unten rechts KachelX + 1 25493 KachelY + 1 26005 -0.69748189 0.60722187 -39.962769 34.791250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60730060-0.60722187) × R
    7.87299999999158e-05 × 6371000     		dl = 501.588829999464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60730060-0.60722187) × R
    7.87299999999158e-05 × 6371000     		dr = 501.588829999464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69757776--0.69748189) × cos(0.60730060) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.821191428101707 × 6371000     		do = 501.573681113346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69757776--0.69748189) × cos(0.60722187) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.821236353052961 × 6371000     		du = 501.601120724139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60730060)-sin(0.60722187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.821191428101707-0.821236353052961)×R²
    abs(-0.69748189--0.69757776)×4.49249512537442e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49249512537442e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49249512537442e-05×40589641000000     		ar = 251590.637699424m²