Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2549 / 3599
↖ ↑ ↗
← S 79.416240°
E 44.033203°		 ← 1 795.04 m → S 79.416240°
E 44.121094°		 →
↑
1 793.69 m
↓
↑
1 793.69 m
↓
S 79.432371°
E 44.033203°		 ← 1 792.34 m →
3 217 327 m²		 S 79.432371°
E 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6224365234375 y=0.8787841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6224365234375 × 212)
    floor (0.6224365234375 × 4096)
    floor (2549.5)     		tx = 2549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8787841796875 × 212)
    floor (0.8787841796875 × 4096)
    floor (3599.5)     		ty = 3599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2549 / 3599 ti = "12/2549/3599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2549/3599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2549 ÷ 212
    2549 ÷ 4096     		x = 0.622314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3599 ÷ 212
    3599 ÷ 4096     		y = 0.878662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622314453125 × 2 - 1) × π
    0.24462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76852437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878662109375 × 2 - 1) × π
    -0.75732421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.37920420194263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76852437} λ = 0.76852437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37920420194263))-π/2
    2×atan(0.0926242583937982)-π/2
    2×0.0923607312660608-π/2
    0.184721462532122-1.57079632675     		φ = -1.38607486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76852437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.033203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38607486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.416240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2549 KachelY 3599 0.76852437 -1.38607486 44.033203 -79.416240
    Oben rechts KachelX + 1 2550 KachelY 3599 0.77005836 -1.38607486 44.121094 -79.416240
    Unten links KachelX 2549 KachelY + 1 3600 0.76852437 -1.38635640 44.033203 -79.432371
    Unten rechts KachelX + 1 2550 KachelY + 1 3600 0.77005836 -1.38635640 44.121094 -79.432371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38607486--1.38635640) × R
    0.000281540000000025 × 6371000     		dl = 1793.69134000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38607486--1.38635640) × R
    0.000281540000000025 × 6371000     		dr = 1793.69134000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76852437-0.77005836) × cos(-1.38607486) × R
    0.0015339900000001 × 0.183672746011926 × 6371000     		do = 1795.04298367707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76852437-0.77005836) × cos(-1.38635640) × R
    0.0015339900000001 × 0.183395988450163 × 6371000     		du = 1792.33821810781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38607486)-sin(-1.38635640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183672746011926-0.183395988450163)×R²
    abs(0.77005836-0.76852437)×0.000276757561763735×R²
    0.0015339900000001×0.000276757561763735×6371000²
    0.0015339900000001×0.000276757561763735×40589641000000     		ar = 3217327.31871511m²