Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 25489 / 58001
↖ ↑ ↗
← N 20.259620°
W109.992371°		 ← 286.53 m → N 20.259620°
W109.989624°		 →
↑
286.50 m
↓
↑
286.50 m
↓
N 20.257044°
W109.992371°		 ← 286.53 m →
82 093 m²		 N 20.257044°
W109.989624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.194469451904297 y=0.442516326904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.194469451904297 × 217)
    floor (0.194469451904297 × 131072)
    floor (25489.5)     		tx = 25489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442516326904297 × 217)
    floor (0.442516326904297 × 131072)
    floor (58001.5)     		ty = 58001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 25489 / 58001 ti = "17/25489/58001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/25489/58001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25489 ÷ 217
    25489 ÷ 131072     		x = 0.194465637207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58001 ÷ 217
    58001 ÷ 131072     		y = 0.442512512207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.194465637207031 × 2 - 1) × π
    -0.611068725585938 × 3.1415926535     		Λ = -1.91972902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442512512207031 × 2 - 1) × π
    0.114974975585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.361204538637123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.91972902} λ = -1.91972902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361204538637123))-π/2
    2×atan(1.43505695545591)-π/2
    2×0.962196704733674-π/2
    1.92439340946735-1.57079632675     		φ = 0.35359708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.91972902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -109.992371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35359708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.259620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25489 KachelY 58001 -1.91972902 0.35359708 -109.992371 20.259620
    Oben rechts KachelX + 1 25490 KachelY 58001 -1.91968108 0.35359708 -109.989624 20.259620
    Unten links KachelX 25489 KachelY + 1 58002 -1.91972902 0.35355211 -109.992371 20.257044
    Unten rechts KachelX + 1 25490 KachelY + 1 58002 -1.91968108 0.35355211 -109.989624 20.257044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35359708-0.35355211) × R
    4.4970000000033e-05 × 6371000     		dl = 286.50387000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35359708-0.35355211) × R
    4.4970000000033e-05 × 6371000     		dr = 286.50387000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.91972902--1.91968108) × cos(0.35359708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938133207404081 × 6371000     		do = 286.530029089777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.91972902--1.91968108) × cos(0.35355211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938148778423371 × 6371000     		du = 286.534784879866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35359708)-sin(0.35355211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938133207404081-0.938148778423371)×R²
    abs(-1.91968108--1.91972902)×1.55710192902836e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55710192902836e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55710192902836e-05×40589641000000     		ar = 82092.6434954822m²