Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25488 / 26255
↖ ↑ ↗
← N 33.655781°
W 39.990234°		 ← 508.46 m → N 33.655781°
W 39.984741°		 →
↑
508.47 m
↓
↑
508.47 m
↓
N 33.651208°
W 39.990234°		 ← 508.49 m →
258 544 m²		 N 33.651208°
W 39.984741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388923645019531 y=0.400627136230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388923645019531 × 216)
    floor (0.388923645019531 × 65536)
    floor (25488.5)     		tx = 25488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400627136230469 × 216)
    floor (0.400627136230469 × 65536)
    floor (26255.5)     		ty = 26255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25488 / 26255 ti = "16/25488/26255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25488/26255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25488 ÷ 216
    25488 ÷ 65536     		x = 0.388916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26255 ÷ 216
    26255 ÷ 65536     		y = 0.400619506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388916015625 × 2 - 1) × π
    -0.22216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.69796126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.400619506835938 × 2 - 1) × π
    0.198760986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.624426054450851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69796126} λ = -0.69796126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.624426054450851))-π/2
    2×atan(1.86717399363409)-π/2
    2×1.07910025731438-π/2
    2.15820051462875-1.57079632675     		φ = 0.58740419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69796126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.990234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58740419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.655781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25488 KachelY 26255 -0.69796126 0.58740419 -39.990234 33.655781
    Oben rechts KachelX + 1 25489 KachelY 26255 -0.69786538 0.58740419 -39.984741 33.655781
    Unten links KachelX 25488 KachelY + 1 26256 -0.69796126 0.58732438 -39.990234 33.651208
    Unten rechts KachelX + 1 25489 KachelY + 1 26256 -0.69786538 0.58732438 -39.984741 33.651208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58740419-0.58732438) × R
    7.98100000000135e-05 × 6371000     		dl = 508.469510000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58740419-0.58732438) × R
    7.98100000000135e-05 × 6371000     		dr = 508.469510000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69796126--0.69786538) × cos(0.58740419) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.832382085452201 × 6371000     		do = 508.461828824219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69796126--0.69786538) × cos(0.58732438) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.832426313677695 × 6371000     		du = 508.488845701219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58740419)-sin(0.58732438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832382085452201-0.832426313677695)×R²
    abs(-0.69786538--0.69796126)×4.42282254934367e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.42282254934367e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.42282254934367e-05×40589641000000     		ar = 258544.205722527m²