Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25487 / 24084
↖ ↑ ↗
← S 64.263684°
E100.008545°		 ← 530.47 m → S 64.263684°
E100.019531°		 →
↑
530.45 m
↓
↑
530.45 m
↓
S 64.268454°
E100.008545°		 ← 530.38 m →
281 365 m²		 S 64.268454°
E100.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777816772460938 y=0.735000610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777816772460938 × 215)
    floor (0.777816772460938 × 32768)
    floor (25487.5)     		tx = 25487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735000610351562 × 215)
    floor (0.735000610351562 × 32768)
    floor (24084.5)     		ty = 24084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25487 / 24084 ti = "15/25487/24084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25487/24084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25487 ÷ 215
    25487 ÷ 32768     		x = 0.777801513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24084 ÷ 215
    24084 ÷ 32768     		y = 0.7349853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777801513671875 × 2 - 1) × π
    0.55560302734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74547839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7349853515625 × 2 - 1) × π
    -0.469970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47645650829773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74547839} λ = 1.74547839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47645650829773))-π/2
    2×atan(0.228445751480638)-π/2
    2×0.224591728043391-π/2
    0.449183456086783-1.57079632675     		φ = -1.12161287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74547839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.008545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12161287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.263684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25487 KachelY 24084 1.74547839 -1.12161287 100.008545 -64.263684
    Oben rechts KachelX + 1 25488 KachelY 24084 1.74567014 -1.12161287 100.019531 -64.263684
    Unten links KachelX 25487 KachelY + 1 24085 1.74547839 -1.12169613 100.008545 -64.268454
    Unten rechts KachelX + 1 25488 KachelY + 1 24085 1.74567014 -1.12169613 100.019531 -64.268454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12161287--1.12169613) × R
    8.32599999998074e-05 × 6371000     		dl = 530.449459998773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12161287--1.12169613) × R
    8.32599999998074e-05 × 6371000     		dr = 530.449459998773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74547839-1.74567014) × cos(-1.12161287) × R
    0.000191750000000157 × 0.434230135224891 × 6371000     		do = 530.472576723969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74547839-1.74567014) × cos(-1.12169613) × R
    0.000191750000000157 × 0.434155132947841 × 6371000     		du = 530.380950998485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12161287)-sin(-1.12169613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434230135224891-0.434155132947841)×R²
    abs(1.74567014-1.74547839)×7.50022770498182e-05×R²
    0.000191750000000157×7.50022770498182e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.50022770498182e-05×40589641000000     		ar = 281364.590621104m²