Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25477 / 24715
↖ ↑ ↗
← S 67.114476°
E 99.898681°		 ← 475.08 m → S 67.114476°
E 99.909668°		 →
↑
475.02 m
↓
↑
475.02 m
↓
S 67.118748°
E 99.898681°		 ← 475 m →
225 656 m²		 S 67.118748°
E 99.909668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777511596679688 y=0.754257202148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777511596679688 × 215)
    floor (0.777511596679688 × 32768)
    floor (25477.5)     		tx = 25477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754257202148438 × 215)
    floor (0.754257202148438 × 32768)
    floor (24715.5)     		ty = 24715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25477 / 24715 ti = "15/25477/24715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25477/24715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25477 ÷ 215
    25477 ÷ 32768     		x = 0.777496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24715 ÷ 215
    24715 ÷ 32768     		y = 0.754241943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777496337890625 × 2 - 1) × π
    0.55499267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74356091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754241943359375 × 2 - 1) × π
    -0.50848388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59744924293875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74356091} λ = 1.74356091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59744924293875))-π/2
    2×atan(0.202412164328253)-π/2
    2×0.199713869059744-π/2
    0.399427738119487-1.57079632675     		φ = -1.17136859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74356091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.898681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17136859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.114476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25477 KachelY 24715 1.74356091 -1.17136859 99.898681 -67.114476
    Oben rechts KachelX + 1 25478 KachelY 24715 1.74375266 -1.17136859 99.909668 -67.114476
    Unten links KachelX 25477 KachelY + 1 24716 1.74356091 -1.17144315 99.898681 -67.118748
    Unten rechts KachelX + 1 25478 KachelY + 1 24716 1.74375266 -1.17144315 99.909668 -67.118748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17136859--1.17144315) × R
    7.45600000000568e-05 × 6371000     		dl = 475.021760000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17136859--1.17144315) × R
    7.45600000000568e-05 × 6371000     		dr = 475.021760000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74356091-1.74375266) × cos(-1.17136859) × R
    0.000191749999999935 × 0.38889118925653 × 6371000     		do = 475.084740774795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74356091-1.74375266) × cos(-1.17144315) × R
    0.000191749999999935 × 0.388822497263486 × 6371000     		du = 475.000823939931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17136859)-sin(-1.17144315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38889118925653-0.388822497263486)×R²
    abs(1.74375266-1.74356091)×6.86919930443786e-05×R²
    0.000191749999999935×6.86919930443786e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.86919930443786e-05×40589641000000     		ar = 225655.658655542m²