Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25474 / 24706
↖ ↑ ↗
← S 67.075993°
E 99.865723°		 ← 475.84 m → S 67.075993°
E 99.876709°		 →
↑
475.85 m
↓
↑
475.85 m
↓
S 67.080273°
E 99.865723°		 ← 475.76 m →
226 409 m²		 S 67.080273°
E 99.876709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777420043945312 y=0.753982543945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777420043945312 × 215)
    floor (0.777420043945312 × 32768)
    floor (25474.5)     		tx = 25474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753982543945312 × 215)
    floor (0.753982543945312 × 32768)
    floor (24706.5)     		ty = 24706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25474 / 24706 ti = "15/25474/24706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25474/24706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25474 ÷ 215
    25474 ÷ 32768     		x = 0.77740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24706 ÷ 215
    24706 ÷ 32768     		y = 0.75396728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77740478515625 × 2 - 1) × π
    0.5548095703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74298567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75396728515625 × 2 - 1) × π
    -0.5079345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59572351455243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74298567} λ = 1.74298567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59572351455243))-π/2
    2×atan(0.202761774325154)-π/2
    2×0.200049696210427-π/2
    0.400099392420855-1.57079632675     		φ = -1.17069693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74298567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.865723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17069693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.075993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25474 KachelY 24706 1.74298567 -1.17069693 99.865723 -67.075993
    Oben rechts KachelX + 1 25475 KachelY 24706 1.74317742 -1.17069693 99.876709 -67.075993
    Unten links KachelX 25474 KachelY + 1 24707 1.74298567 -1.17077162 99.865723 -67.080273
    Unten rechts KachelX + 1 25475 KachelY + 1 24707 1.74317742 -1.17077162 99.876709 -67.080273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17069693--1.17077162) × R
    7.46899999999329e-05 × 6371000     		dl = 475.849989999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17069693--1.17077162) × R
    7.46899999999329e-05 × 6371000     		dr = 475.849989999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74298567-1.74317742) × cos(-1.17069693) × R
    0.000191750000000157 × 0.389509890895535 × 6371000     		do = 475.840570981593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74298567-1.74317742) × cos(-1.17077162) × R
    0.000191750000000157 × 0.389441098654859 × 6371000     		du = 475.756531680287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17069693)-sin(-1.17077162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389509890895535-0.389441098654859)×R²
    abs(1.74317742-1.74298567)×6.87922406764629e-05×R²
    0.000191750000000157×6.87922406764629e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.87922406764629e-05×40589641000000     		ar = 226408.735998105m²