Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25473 / 24457
↖ ↑ ↗
← S 65.986741°
E 99.854736°		 ← 497.14 m → S 65.986741°
E 99.865723°		 →
↑
497.07 m
↓
↑
497.07 m
↓
S 65.991212°
E 99.854736°		 ← 497.06 m →
247 091 m²		 S 65.991212°
E 99.865723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777389526367188 y=0.746383666992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777389526367188 × 215)
    floor (0.777389526367188 × 32768)
    floor (25473.5)     		tx = 25473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746383666992188 × 215)
    floor (0.746383666992188 × 32768)
    floor (24457.5)     		ty = 24457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25473 / 24457 ti = "15/25473/24457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25473/24457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25473 ÷ 215
    25473 ÷ 32768     		x = 0.777374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24457 ÷ 215
    24457 ÷ 32768     		y = 0.746368408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777374267578125 × 2 - 1) × π
    0.55474853515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74279392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.49273681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54797836253085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74279392} λ = 1.74279392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54797836253085))-π/2
    2×atan(0.212677496306462)-π/2
    2×0.20955521435526-π/2
    0.419110428710521-1.57079632675     		φ = -1.15168590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74279392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.854736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15168590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.986741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25473 KachelY 24457 1.74279392 -1.15168590 99.854736 -65.986741
    Oben rechts KachelX + 1 25474 KachelY 24457 1.74298567 -1.15168590 99.865723 -65.986741
    Unten links KachelX 25473 KachelY + 1 24458 1.74279392 -1.15176392 99.854736 -65.991212
    Unten rechts KachelX + 1 25474 KachelY + 1 24458 1.74298567 -1.15176392 99.865723 -65.991212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15168590--1.15176392) × R
    7.8020000000123e-05 × 6371000     		dl = 497.065420000784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15168590--1.15176392) × R
    7.8020000000123e-05 × 6371000     		dr = 497.065420000784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74279392-1.74298567) × cos(-1.15168590) × R
    0.000191749999999935 × 0.406948032372854 × 6371000     		do = 497.143689056781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74279392-1.74298567) × cos(-1.15176392) × R
    0.000191749999999935 × 0.406876763663012 × 6371000     		du = 497.056624403541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15168590)-sin(-1.15176392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406948032372854-0.406876763663012)×R²
    abs(1.74298567-1.74279392)×7.12687098418097e-05×R²
    0.000191749999999935×7.12687098418097e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.12687098418097e-05×40589641000000     		ar = 247091.298312109m²