Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25471 / 25983
↖ ↑ ↗
← N 34.890437°
W 40.083618°		 ← 501 m → N 34.890437°
W 40.078125°		 →
↑
501.02 m
↓
↑
501.02 m
↓
N 34.885931°
W 40.083618°		 ← 501.02 m →
251 014 m²		 N 34.885931°
W 40.078125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388664245605469 y=0.396476745605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388664245605469 × 216)
    floor (0.388664245605469 × 65536)
    floor (25471.5)     		tx = 25471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.396476745605469 × 216)
    floor (0.396476745605469 × 65536)
    floor (25983.5)     		ty = 25983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25471 / 25983 ti = "16/25471/25983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25471/25983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25471 ÷ 216
    25471 ÷ 65536     		x = 0.388656616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25983 ÷ 216
    25983 ÷ 65536     		y = 0.396469116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388656616210938 × 2 - 1) × π
    -0.222686767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.69959111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.396469116210938 × 2 - 1) × π
    0.207061767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.650503727844162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69959111} λ = -0.69959111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.650503727844162))-π/2
    2×atan(1.91650598333324)-π/2
    2×1.08987466335312-π/2
    2.17974932670625-1.57079632675     		φ = 0.60895300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69959111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.083618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60895300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.890437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25471 KachelY 25983 -0.69959111 0.60895300 -40.083618 34.890437
    Oben rechts KachelX + 1 25472 KachelY 25983 -0.69949524 0.60895300 -40.078125 34.890437
    Unten links KachelX 25471 KachelY + 1 25984 -0.69959111 0.60887436 -40.083618 34.885931
    Unten rechts KachelX + 1 25472 KachelY + 1 25984 -0.69949524 0.60887436 -40.078125 34.885931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60895300-0.60887436) × R
    7.86400000000187e-05 × 6371000     		dl = 501.015440000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60895300-0.60887436) × R
    7.86400000000187e-05 × 6371000     		dr = 501.015440000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69959111--0.69949524) × cos(0.60895300) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.820247360713896 × 6371000     		do = 500.997056298815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69959111--0.69949524) × cos(0.60887436) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.82029234096332 × 6371000     		du = 501.024529685055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60895300)-sin(0.60887436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.820247360713896-0.82029234096332)×R²
    abs(-0.69949524--0.69959111)×4.49802494241203e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49802494241203e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49802494241203e-05×40589641000000     		ar = 251014.143024976m²