Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25471 / 24459
↖ ↑ ↗
← S 65.995681°
E 99.832764°		 ← 496.94 m → S 65.995681°
E 99.843750°		 →
↑
496.94 m
↓
↑
496.94 m
↓
S 66.000150°
E 99.832764°		 ← 496.86 m →
246 929 m²		 S 66.000150°
E 99.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777328491210938 y=0.746444702148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777328491210938 × 215)
    floor (0.777328491210938 × 32768)
    floor (25471.5)     		tx = 25471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746444702148438 × 215)
    floor (0.746444702148438 × 32768)
    floor (24459.5)     		ty = 24459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25471 / 24459 ti = "15/25471/24459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25471/24459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25471 ÷ 215
    25471 ÷ 32768     		x = 0.777313232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24459 ÷ 215
    24459 ÷ 32768     		y = 0.746429443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777313232421875 × 2 - 1) × π
    0.55462646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74241043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746429443359375 × 2 - 1) × π
    -0.49285888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54836185772781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74241043} λ = 1.74241043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54836185772781))-π/2
    2×atan(0.212595951145215)-π/2
    2×0.209477196713079-π/2
    0.418954393426158-1.57079632675     		φ = -1.15184193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74241043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.832764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15184193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.995681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25471 KachelY 24459 1.74241043 -1.15184193 99.832764 -65.995681
    Oben rechts KachelX + 1 25472 KachelY 24459 1.74260217 -1.15184193 99.843750 -65.995681
    Unten links KachelX 25471 KachelY + 1 24460 1.74241043 -1.15191993 99.832764 -66.000150
    Unten rechts KachelX + 1 25472 KachelY + 1 24460 1.74260217 -1.15191993 99.843750 -66.000150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15184193--1.15191993) × R
    7.80000000000225e-05 × 6371000     		dl = 496.938000000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15184193--1.15191993) × R
    7.80000000000225e-05 × 6371000     		dr = 496.938000000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74241043-1.74260217) × cos(-1.15184193) × R
    0.000191739999999996 × 0.406805501611611 × 6371000     		do = 496.943650306163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74241043-1.74260217) × cos(-1.15191993) × R
    0.000191739999999996 × 0.406734246220035 × 6371000     		du = 496.856606462721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15184193)-sin(-1.15191993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406805501611611-0.406734246220035)×R²
    abs(1.74260217-1.74241043)×7.12553915756531e-05×R²
    0.000191739999999996×7.12553915756531e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.12553915756531e-05×40589641000000     		ar = 246928.556124841m²