Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25471 / 24457
↖ ↑ ↗
← S 65.986741°
E 99.832764°		 ← 497.12 m → S 65.986741°
E 99.843750°		 →
↑
497.07 m
↓
↑
497.07 m
↓
S 65.991212°
E 99.832764°		 ← 497.03 m →
247 078 m²		 S 65.991212°
E 99.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777328491210938 y=0.746383666992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777328491210938 × 215)
    floor (0.777328491210938 × 32768)
    floor (25471.5)     		tx = 25471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746383666992188 × 215)
    floor (0.746383666992188 × 32768)
    floor (24457.5)     		ty = 24457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25471 / 24457 ti = "15/25471/24457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25471/24457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25471 ÷ 215
    25471 ÷ 32768     		x = 0.777313232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24457 ÷ 215
    24457 ÷ 32768     		y = 0.746368408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777313232421875 × 2 - 1) × π
    0.55462646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74241043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.49273681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54797836253085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74241043} λ = 1.74241043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54797836253085))-π/2
    2×atan(0.212677496306462)-π/2
    2×0.20955521435526-π/2
    0.419110428710521-1.57079632675     		φ = -1.15168590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74241043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.832764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15168590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.986741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25471 KachelY 24457 1.74241043 -1.15168590 99.832764 -65.986741
    Oben rechts KachelX + 1 25472 KachelY 24457 1.74260217 -1.15168590 99.843750 -65.986741
    Unten links KachelX 25471 KachelY + 1 24458 1.74241043 -1.15176392 99.832764 -65.991212
    Unten rechts KachelX + 1 25472 KachelY + 1 24458 1.74260217 -1.15176392 99.843750 -65.991212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15168590--1.15176392) × R
    7.8020000000123e-05 × 6371000     		dl = 497.065420000784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15168590--1.15176392) × R
    7.8020000000123e-05 × 6371000     		dr = 497.065420000784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74241043-1.74260217) × cos(-1.15168590) × R
    0.000191739999999996 × 0.406948032372854 × 6371000     		do = 497.117762397796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74241043-1.74260217) × cos(-1.15176392) × R
    0.000191739999999996 × 0.406876763663012 × 6371000     		du = 497.030702285086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15168590)-sin(-1.15176392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406948032372854-0.406876763663012)×R²
    abs(1.74260217-1.74241043)×7.12687098418097e-05×R²
    0.000191739999999996×7.12687098418097e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.12687098418097e-05×40589641000000     		ar = 247078.412194935m²