Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2547 / 623
↖ ↑ ↗
← N 77.176684°
E 43.857422°		 ← 2 169.07 m → N 77.176684°
E 43.945312°		 →
↑
2 170.66 m
↓
↑
2 170.66 m
↓
N 77.157163°
E 43.857422°		 ← 2 172.32 m →
4 711 841 m²		 N 77.157163°
E 43.945312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6219482421875 y=0.1522216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6219482421875 × 212)
    floor (0.6219482421875 × 4096)
    floor (2547.5)     		tx = 2547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1522216796875 × 212)
    floor (0.1522216796875 × 4096)
    floor (623.5)     		ty = 623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2547 / 623 ti = "12/2547/623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2547/623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2547 ÷ 212
    2547 ÷ 4096     		x = 0.621826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 623 ÷ 212
    623 ÷ 4096     		y = 0.152099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621826171875 × 2 - 1) × π
    0.24365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76545641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152099609375 × 2 - 1) × π
    0.69580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18592262267456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76545641} λ = 0.76545641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18592262267456))-π/2
    2×atan(8.8988550524872)-π/2
    2×1.45889178443587-π/2
    2.91778356887174-1.57079632675     		φ = 1.34698724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76545641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.857422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34698724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.176684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2547 KachelY 623 0.76545641 1.34698724 43.857422 77.176684
    Oben rechts KachelX + 1 2548 KachelY 623 0.76699039 1.34698724 43.945312 77.176684
    Unten links KachelX 2547 KachelY + 1 624 0.76545641 1.34664653 43.857422 77.157163
    Unten rechts KachelX + 1 2548 KachelY + 1 624 0.76699039 1.34664653 43.945312 77.157163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34698724-1.34664653) × R
    0.000340710000000133 × 6371000     		dl = 2170.66341000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34698724-1.34664653) × R
    0.000340710000000133 × 6371000     		dr = 2170.66341000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76545641-0.76699039) × cos(1.34698724) × R
    0.00153398000000005 × 0.221945309018804 × 6371000     		do = 2169.06852653479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76545641-0.76699039) × cos(1.34664653) × R
    0.00153398000000005 × 0.222277508521736 × 6371000     		du = 2172.31510781883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34698724)-sin(1.34664653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221945309018804-0.222277508521736)×R²
    abs(0.76699039-0.76545641)×0.000332199502932035×R²
    0.00153398000000005×0.000332199502932035×6371000²
    0.00153398000000005×0.000332199502932035×40589641000000     		ar = 4711841.34751174m²