Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2547 / 3597
↖ ↑ ↗
← S 79.383905°
E 43.857422°		 ← 1 800.45 m → S 79.383905°
E 43.945312°		 →
↑
1 799.11 m
↓
↑
1 799.11 m
↓
S 79.400084°
E 43.857422°		 ← 1 797.74 m →
3 236 766 m²		 S 79.400084°
E 43.945312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6219482421875 y=0.8782958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6219482421875 × 212)
    floor (0.6219482421875 × 4096)
    floor (2547.5)     		tx = 2547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8782958984375 × 212)
    floor (0.8782958984375 × 4096)
    floor (3597.5)     		ty = 3597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2547 / 3597 ti = "12/2547/3597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2547/3597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2547 ÷ 212
    2547 ÷ 4096     		x = 0.621826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3597 ÷ 212
    3597 ÷ 4096     		y = 0.878173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621826171875 × 2 - 1) × π
    0.24365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76545641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878173828125 × 2 - 1) × π
    -0.75634765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.37613624036694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76545641} λ = 0.76545641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37613624036694))-π/2
    2×atan(0.0929088624133912)-π/2
    2×0.0926429069826676-π/2
    0.185285813965335-1.57079632675     		φ = -1.38551051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76545641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.857422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38551051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.383905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2547 KachelY 3597 0.76545641 -1.38551051 43.857422 -79.383905
    Oben rechts KachelX + 1 2548 KachelY 3597 0.76699039 -1.38551051 43.945312 -79.383905
    Unten links KachelX 2547 KachelY + 1 3598 0.76545641 -1.38579290 43.857422 -79.400084
    Unten rechts KachelX + 1 2548 KachelY + 1 3598 0.76699039 -1.38579290 43.945312 -79.400084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38551051--1.38579290) × R
    0.000282389999999966 × 6371000     		dl = 1799.10668999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38551051--1.38579290) × R
    0.000282389999999966 × 6371000     		dr = 1799.10668999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76545641-0.76699039) × cos(-1.38551051) × R
    0.00153398000000005 × 0.184227465699549 × 6371000     		do = 1800.45254994915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76545641-0.76699039) × cos(-1.38579290) × R
    0.00153398000000005 × 0.183949901847889 × 6371000     		du = 1797.73992215179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38551051)-sin(-1.38579290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184227465699549-0.183949901847889)×R²
    abs(0.76699039-0.76545641)×0.000277563851660251×R²
    0.00153398000000005×0.000277563851660251×6371000²
    0.00153398000000005×0.000277563851660251×40589641000000     		ar = 3236766.09574332m²