Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25469 / 24042
↖ ↑ ↗
← S 64.062590°
E 99.810791°		 ← 534.33 m → S 64.062590°
E 99.821777°		 →
↑
534.27 m
↓
↑
534.27 m
↓
S 64.067395°
E 99.810791°		 ← 534.24 m →
285 454 m²		 S 64.067395°
E 99.821777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777267456054688 y=0.733718872070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777267456054688 × 215)
    floor (0.777267456054688 × 32768)
    floor (25469.5)     		tx = 25469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733718872070312 × 215)
    floor (0.733718872070312 × 32768)
    floor (24042.5)     		ty = 24042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25469 / 24042 ti = "15/25469/24042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25469/24042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25469 ÷ 215
    25469 ÷ 32768     		x = 0.777252197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24042 ÷ 215
    24042 ÷ 32768     		y = 0.73370361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777252197265625 × 2 - 1) × π
    0.55450439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74202693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73370361328125 × 2 - 1) × π
    -0.4674072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46840310916156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74202693} λ = 1.74202693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46840310916156))-π/2
    2×atan(0.230292944405585)-π/2
    2×0.226346596421198-π/2
    0.452693192842396-1.57079632675     		φ = -1.11810313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74202693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.810791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11810313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.062590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25469 KachelY 24042 1.74202693 -1.11810313 99.810791 -64.062590
    Oben rechts KachelX + 1 25470 KachelY 24042 1.74221868 -1.11810313 99.821777 -64.062590
    Unten links KachelX 25469 KachelY + 1 24043 1.74202693 -1.11818699 99.810791 -64.067395
    Unten rechts KachelX + 1 25470 KachelY + 1 24043 1.74221868 -1.11818699 99.821777 -64.067395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11810313--1.11818699) × R
    8.38600000001577e-05 × 6371000     		dl = 534.272060001005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11810313--1.11818699) × R
    8.38600000001577e-05 × 6371000     		dr = 534.272060001005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74202693-1.74221868) × cos(-1.11810313) × R
    0.000191749999999935 × 0.437389034960865 × 6371000     		do = 534.331612627633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74202693-1.74221868) × cos(-1.11818699) × R
    0.000191749999999935 × 0.437313620440327 × 6371000     		du = 534.239483289324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11810313)-sin(-1.11818699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437389034960865-0.437313620440327)×R²
    abs(1.74221868-1.74202693)×7.5414520537942e-05×R²
    0.000191749999999935×7.5414520537942e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.5414520537942e-05×40589641000000     		ar = 285453.840504268m²