Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25468 / 24461
↖ ↑ ↗
← S 66.004618°
E 99.799804°		 ← 496.80 m → S 66.004618°
E 99.810791°		 →
↑
496.75 m
↓
↑
496.75 m
↓
S 66.009086°
E 99.799804°		 ← 496.71 m →
246 760 m²		 S 66.009086°
E 99.810791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777236938476562 y=0.746505737304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777236938476562 × 215)
    floor (0.777236938476562 × 32768)
    floor (25468.5)     		tx = 25468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746505737304688 × 215)
    floor (0.746505737304688 × 32768)
    floor (24461.5)     		ty = 24461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25468 / 24461 ti = "15/25468/24461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25468/24461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25468 ÷ 215
    25468 ÷ 32768     		x = 0.7772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24461 ÷ 215
    24461 ÷ 32768     		y = 0.746490478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7772216796875 × 2 - 1) × π
    0.554443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74183518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746490478515625 × 2 - 1) × π
    -0.49298095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54874535292477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74183518} λ = 1.74183518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54874535292477))-π/2
    2×atan(0.212514437250151)-π/2
    2×0.209399206397917-π/2
    0.418798412795834-1.57079632675     		φ = -1.15199791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74183518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.799804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15199791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.004618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25468 KachelY 24461 1.74183518 -1.15199791 99.799804 -66.004618
    Oben rechts KachelX + 1 25469 KachelY 24461 1.74202693 -1.15199791 99.810791 -66.004618
    Unten links KachelX 25468 KachelY + 1 24462 1.74183518 -1.15207588 99.799804 -66.009086
    Unten rechts KachelX + 1 25469 KachelY + 1 24462 1.74202693 -1.15207588 99.810791 -66.009086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15199791--1.15207588) × R
    7.79699999999828e-05 × 6371000     		dl = 496.74686999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15199791--1.15207588) × R
    7.79699999999828e-05 × 6371000     		dr = 496.74686999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74183518-1.74202693) × cos(-1.15199791) × R
    0.000191749999999935 × 0.406663006625453 × 6371000     		do = 496.795490416495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74183518-1.74202693) × cos(-1.15207588) × R
    0.000191749999999935 × 0.406591773694102 × 6371000     		du = 496.708469471664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15199791)-sin(-1.15207588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406663006625453-0.406591773694102)×R²
    abs(1.74202693-1.74183518)×7.12329313515281e-05×R²
    0.000191749999999935×7.12329313515281e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.12329313515281e-05×40589641000000     		ar = 246759.991328492m²