Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25468 / 24060
↖ ↑ ↗
← S 64.148952°
E 99.799804°		 ← 532.68 m → S 64.148952°
E 99.810791°		 →
↑
532.62 m
↓
↑
532.62 m
↓
S 64.153742°
E 99.799804°		 ← 532.58 m →
283 687 m²		 S 64.153742°
E 99.810791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777236938476562 y=0.734268188476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777236938476562 × 215)
    floor (0.777236938476562 × 32768)
    floor (25468.5)     		tx = 25468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734268188476562 × 215)
    floor (0.734268188476562 × 32768)
    floor (24060.5)     		ty = 24060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25468 / 24060 ti = "15/25468/24060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25468/24060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25468 ÷ 215
    25468 ÷ 32768     		x = 0.7772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24060 ÷ 215
    24060 ÷ 32768     		y = 0.7342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7772216796875 × 2 - 1) × π
    0.554443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74183518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7342529296875 × 2 - 1) × π
    -0.468505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4718545659342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74183518} λ = 1.74183518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4718545659342))-π/2
    2×atan(0.229499468374729)-π/2
    2×0.22559295222524-π/2
    0.451185904450481-1.57079632675     		φ = -1.11961042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74183518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.799804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11961042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.148952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25468 KachelY 24060 1.74183518 -1.11961042 99.799804 -64.148952
    Oben rechts KachelX + 1 25469 KachelY 24060 1.74202693 -1.11961042 99.810791 -64.148952
    Unten links KachelX 25468 KachelY + 1 24061 1.74183518 -1.11969402 99.799804 -64.153742
    Unten rechts KachelX + 1 25469 KachelY + 1 24061 1.74202693 -1.11969402 99.810791 -64.153742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11961042--1.11969402) × R
    8.35999999999615e-05 × 6371000     		dl = 532.615599999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11961042--1.11969402) × R
    8.35999999999615e-05 × 6371000     		dr = 532.615599999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74183518-1.74202693) × cos(-1.11961042) × R
    0.000191749999999935 × 0.436033074335782 × 6371000     		do = 532.675117906578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74183518-1.74202693) × cos(-1.11969402) × R
    0.000191749999999935 × 0.435957838610597 × 6371000     		du = 532.583206991691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11961042)-sin(-1.11969402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436033074335782-0.435957838610597)×R²
    abs(1.74202693-1.74183518)×7.52357251843638e-05×R²
    0.000191749999999935×7.52357251843638e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.52357251843638e-05×40589641000000     		ar = 283686.601099972m²