Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25467 / 24747
↖ ↑ ↗
← S 67.250810°
E 99.788819°		 ← 472.38 m → S 67.250810°
E 99.799804°		 →
↑
472.35 m
↓
↑
472.35 m
↓
S 67.255058°
E 99.788819°		 ← 472.30 m →
223 107 m²		 S 67.255058°
E 99.799804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777206420898438 y=0.755233764648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777206420898438 × 215)
    floor (0.777206420898438 × 32768)
    floor (25467.5)     		tx = 25467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755233764648438 × 215)
    floor (0.755233764648438 × 32768)
    floor (24747.5)     		ty = 24747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25467 / 24747 ti = "15/25467/24747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25467/24747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25467 ÷ 215
    25467 ÷ 32768     		x = 0.777191162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24747 ÷ 215
    24747 ÷ 32768     		y = 0.755218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777191162109375 × 2 - 1) × π
    0.55438232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74164344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.51043701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60358516609012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74164344} λ = 1.74164344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60358516609012))-π/2
    2×atan(0.201173981425353)-π/2
    2×0.198524132871204-π/2
    0.397048265742408-1.57079632675     		φ = -1.17374806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74164344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.788819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17374806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.250810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25467 KachelY 24747 1.74164344 -1.17374806 99.788819 -67.250810
    Oben rechts KachelX + 1 25468 KachelY 24747 1.74183518 -1.17374806 99.799804 -67.250810
    Unten links KachelX 25467 KachelY + 1 24748 1.74164344 -1.17382220 99.788819 -67.255058
    Unten rechts KachelX + 1 25468 KachelY + 1 24748 1.74183518 -1.17382220 99.799804 -67.255058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17374806--1.17382220) × R
    7.41399999999448e-05 × 6371000     		dl = 472.345939999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17374806--1.17382220) × R
    7.41399999999448e-05 × 6371000     		dr = 472.345939999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74164344-1.74183518) × cos(-1.17374806) × R
    0.000191739999999996 × 0.386697923489652 × 6371000     		do = 472.38072470374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74164344-1.74183518) × cos(-1.17382220) × R
    0.000191739999999996 × 0.386629550041545 × 6371000     		du = 472.297201371947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17374806)-sin(-1.17382220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386697923489652-0.386629550041545)×R²
    abs(1.74183518-1.74164344)×6.83734481070619e-05×R²
    0.000191739999999996×6.83734481070619e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.83734481070619e-05×40589641000000     		ar = 223107.391596967m²