Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25467 / 24044
↖ ↑ ↗
← S 64.072199°
E 99.788819°		 ← 534.12 m → S 64.072199°
E 99.799804°		 →
↑
534.08 m
↓
↑
534.08 m
↓
S 64.077003°
E 99.788819°		 ← 534.03 m →
285 238 m²		 S 64.077003°
E 99.799804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777206420898438 y=0.733779907226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777206420898438 × 215)
    floor (0.777206420898438 × 32768)
    floor (25467.5)     		tx = 25467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733779907226562 × 215)
    floor (0.733779907226562 × 32768)
    floor (24044.5)     		ty = 24044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25467 / 24044 ti = "15/25467/24044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25467/24044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25467 ÷ 215
    25467 ÷ 32768     		x = 0.777191162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24044 ÷ 215
    24044 ÷ 32768     		y = 0.7337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777191162109375 × 2 - 1) × π
    0.55438232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74164344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7337646484375 × 2 - 1) × π
    -0.467529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46878660435852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74164344} λ = 1.74164344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46878660435852))-π/2
    2×atan(0.230204645099774)-π/2
    2×0.226262742585244-π/2
    0.452525485170488-1.57079632675     		φ = -1.11827084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74164344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.788819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11827084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.072199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25467 KachelY 24044 1.74164344 -1.11827084 99.788819 -64.072199
    Oben rechts KachelX + 1 25468 KachelY 24044 1.74183518 -1.11827084 99.799804 -64.072199
    Unten links KachelX 25467 KachelY + 1 24045 1.74164344 -1.11835467 99.788819 -64.077003
    Unten rechts KachelX + 1 25468 KachelY + 1 24045 1.74183518 -1.11835467 99.799804 -64.077003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11827084--1.11835467) × R
    8.38299999998959e-05 × 6371000     		dl = 534.080929999337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11827084--1.11835467) × R
    8.38299999998959e-05 × 6371000     		dr = 534.080929999337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74164344-1.74183518) × cos(-1.11827084) × R
    0.000191739999999996 × 0.437238211837838 × 6371000     		do = 534.11950473443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74164344-1.74183518) × cos(-1.11835467) × R
    0.000191739999999996 × 0.437162818148854 × 6371000     		du = 534.027405648096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11827084)-sin(-1.11835467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437238211837838-0.437162818148854)×R²
    abs(1.74183518-1.74164344)×7.53936889847928e-05×R²
    0.000191739999999996×7.53936889847928e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.53936889847928e-05×40589641000000     		ar = 285238.447803678m²