Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25466 / 24746
↖ ↑ ↗
← S 67.246562°
E 99.777832°		 ← 472.49 m → S 67.246562°
E 99.788819°		 →
↑
472.41 m
↓
↑
472.41 m
↓
S 67.250810°
E 99.777832°		 ← 472.41 m →
223 189 m²		 S 67.250810°
E 99.788819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777175903320312 y=0.755203247070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777175903320312 × 215)
    floor (0.777175903320312 × 32768)
    floor (25466.5)     		tx = 25466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755203247070312 × 215)
    floor (0.755203247070312 × 32768)
    floor (24746.5)     		ty = 24746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25466 / 24746 ti = "15/25466/24746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25466/24746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25466 ÷ 215
    25466 ÷ 32768     		x = 0.77716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24746 ÷ 215
    24746 ÷ 32768     		y = 0.75518798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77716064453125 × 2 - 1) × π
    0.5543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74145169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.5103759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60339341849164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74145169} λ = 1.74145169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60339341849164))-π/2
    2×atan(0.201212559751701)-π/2
    2×0.198561210348285-π/2
    0.397122420696569-1.57079632675     		φ = -1.17367391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74145169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.777832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17367391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.246562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25466 KachelY 24746 1.74145169 -1.17367391 99.777832 -67.246562
    Oben rechts KachelX + 1 25467 KachelY 24746 1.74164344 -1.17367391 99.788819 -67.246562
    Unten links KachelX 25466 KachelY + 1 24747 1.74145169 -1.17374806 99.777832 -67.250810
    Unten rechts KachelX + 1 25467 KachelY + 1 24747 1.74164344 -1.17374806 99.788819 -67.250810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17367391--1.17374806) × R
    7.41500000001061e-05 × 6371000     		dl = 472.409650000676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17367391--1.17374806) × R
    7.41500000001061e-05 × 6371000     		dr = 472.409650000676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74145169-1.74164344) × cos(-1.17367391) × R
    0.000191749999999935 × 0.386766304033959 × 6371000     		do = 472.488897585158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74145169-1.74164344) × cos(-1.17374806) × R
    0.000191749999999935 × 0.386697923489652 × 6371000     		du = 472.405361228296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17367391)-sin(-1.17374806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386766304033959-0.386697923489652)×R²
    abs(1.74164344-1.74145169)×6.83805443070784e-05×R²
    0.000191749999999935×6.83805443070784e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.83805443070784e-05×40589641000000     		ar = 223188.583148802m²