Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25463 / 24745
↖ ↑ ↗
← S 67.242312°
E 99.744873°		 ← 472.55 m → S 67.242312°
E 99.755859°		 →
↑
472.54 m
↓
↑
472.54 m
↓
S 67.246562°
E 99.744873°		 ← 472.46 m →
223 277 m²		 S 67.246562°
E 99.755859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777084350585938 y=0.755172729492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777084350585938 × 215)
    floor (0.777084350585938 × 32768)
    floor (25463.5)     		tx = 25463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755172729492188 × 215)
    floor (0.755172729492188 × 32768)
    floor (24745.5)     		ty = 24745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25463 / 24745 ti = "15/25463/24745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25463/24745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25463 ÷ 215
    25463 ÷ 32768     		x = 0.777069091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24745 ÷ 215
    24745 ÷ 32768     		y = 0.755157470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777069091796875 × 2 - 1) × π
    0.55413818359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74087645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755157470703125 × 2 - 1) × π
    -0.51031494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60320167089316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74087645} λ = 1.74087645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60320167089316))-π/2
    2×atan(0.201251145476059)-π/2
    2×0.198598294382184-π/2
    0.397196588764368-1.57079632675     		φ = -1.17359974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74087645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.744873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17359974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.242312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25463 KachelY 24745 1.74087645 -1.17359974 99.744873 -67.242312
    Oben rechts KachelX + 1 25464 KachelY 24745 1.74106819 -1.17359974 99.755859 -67.242312
    Unten links KachelX 25463 KachelY + 1 24746 1.74087645 -1.17367391 99.744873 -67.246562
    Unten rechts KachelX + 1 25464 KachelY + 1 24746 1.74106819 -1.17367391 99.755859 -67.246562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17359974--1.17367391) × R
    7.41699999999845e-05 × 6371000     		dl = 472.537069999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17359974--1.17367391) × R
    7.41699999999845e-05 × 6371000     		dr = 472.537069999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74087645-1.74106819) × cos(-1.17359974) × R
    0.000191739999999996 × 0.38683470089472 × 6371000     		do = 472.547808636196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74087645-1.74106819) × cos(-1.17367391) × R
    0.000191739999999996 × 0.386766304033959 × 6371000     		du = 472.464256704078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17359974)-sin(-1.17367391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38683470089472-0.386766304033959)×R²
    abs(1.74106819-1.74087645)×6.83968607613217e-05×R²
    0.000191739999999996×6.83968607613217e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.83968607613217e-05×40589641000000     		ar = 223276.61633825m²