Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25463 / 24048
↖ ↑ ↗
← S 64.091407°
E 99.744873°		 ← 533.75 m → S 64.091407°
E 99.755859°		 →
↑
533.76 m
↓
↑
533.76 m
↓
S 64.096208°
E 99.744873°		 ← 533.66 m →
284 872 m²		 S 64.096208°
E 99.755859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777084350585938 y=0.733901977539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777084350585938 × 215)
    floor (0.777084350585938 × 32768)
    floor (25463.5)     		tx = 25463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733901977539062 × 215)
    floor (0.733901977539062 × 32768)
    floor (24048.5)     		ty = 24048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25463 / 24048 ti = "15/25463/24048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25463/24048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25463 ÷ 215
    25463 ÷ 32768     		x = 0.777069091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24048 ÷ 215
    24048 ÷ 32768     		y = 0.73388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777069091796875 × 2 - 1) × π
    0.55413818359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74087645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73388671875 × 2 - 1) × π
    -0.4677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46955359475244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74087645} λ = 1.74087645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46955359475244))-π/2
    2×atan(0.230028148042773)-π/2
    2×0.226095121653007-π/2
    0.452190243306014-1.57079632675     		φ = -1.11860608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74087645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.744873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11860608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.091407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25463 KachelY 24048 1.74087645 -1.11860608 99.744873 -64.091407
    Oben rechts KachelX + 1 25464 KachelY 24048 1.74106819 -1.11860608 99.755859 -64.091407
    Unten links KachelX 25463 KachelY + 1 24049 1.74087645 -1.11868986 99.744873 -64.096208
    Unten rechts KachelX + 1 25464 KachelY + 1 24049 1.74106819 -1.11868986 99.755859 -64.096208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11860608--1.11868986) × R
    8.37799999999778e-05 × 6371000     		dl = 533.762379999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11860608--1.11868986) × R
    8.37799999999778e-05 × 6371000     		dr = 533.762379999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74087645-1.74106819) × cos(-1.11860608) × R
    0.000191739999999996 × 0.436936690610512 × 6371000     		do = 533.751173778338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74087645-1.74106819) × cos(-1.11868986) × R
    0.000191739999999996 × 0.436861329615488 × 6371000     		du = 533.659114630146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11860608)-sin(-1.11868986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436936690610512-0.436861329615488)×R²
    abs(1.74106819-1.74087645)×7.5360995024254e-05×R²
    0.000191739999999996×7.5360995024254e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.5360995024254e-05×40589641000000     		ar = 284871.728155741m²