Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25460 / 26292
↖ ↑ ↗
← N 33.486435°
W 40.144043°		 ← 509.41 m → N 33.486435°
W 40.138550°		 →
↑
509.43 m
↓
↑
509.43 m
↓
N 33.481854°
W 40.144043°		 ← 509.43 m →
259 512 m²		 N 33.481854°
W 40.138550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388496398925781 y=0.401191711425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388496398925781 × 216)
    floor (0.388496398925781 × 65536)
    floor (25460.5)     		tx = 25460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.401191711425781 × 216)
    floor (0.401191711425781 × 65536)
    floor (26292.5)     		ty = 26292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25460 / 26292 ti = "16/25460/26292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25460/26292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25460 ÷ 216
    25460 ÷ 65536     		x = 0.38848876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26292 ÷ 216
    26292 ÷ 65536     		y = 0.40118408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38848876953125 × 2 - 1) × π
    -0.2230224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.70064572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40118408203125 × 2 - 1) × π
    0.1976318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.620878723878967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70064572} λ = -0.70064572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.620878723878967))-π/2
    2×atan(1.86056224420716)-π/2
    2×1.0776224400783-π/2
    2.1552448801566-1.57079632675     		φ = 0.58444855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70064572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.144043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58444855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.486435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25460 KachelY 26292 -0.70064572 0.58444855 -40.144043 33.486435
    Oben rechts KachelX + 1 25461 KachelY 26292 -0.70054985 0.58444855 -40.138550 33.486435
    Unten links KachelX 25460 KachelY + 1 26293 -0.70064572 0.58436859 -40.144043 33.481854
    Unten rechts KachelX + 1 25461 KachelY + 1 26293 -0.70054985 0.58436859 -40.138550 33.481854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58444855-0.58436859) × R
    7.995999999999e-05 × 6371000     		dl = 509.425159999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58444855-0.58436859) × R
    7.995999999999e-05 × 6371000     		dr = 509.425159999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70064572--0.70054985) × cos(0.58444855) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.834016469456278 × 6371000     		do = 509.407059522462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70064572--0.70054985) × cos(0.58436859) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.834060583884294 × 6371000     		du = 509.434004075575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58444855)-sin(0.58436859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834016469456278-0.834060583884294)×R²
    abs(-0.70054985--0.70064572)×4.41144280155514e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41144280155514e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41144280155514e-05×40589641000000     		ar = 259511.63605718m²