Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25460 / 24637
↖ ↑ ↗
← S 66.778918°
E 99.711914°		 ← 481.67 m → S 66.778918°
E 99.722900°		 →
↑
481.58 m
↓
↑
481.58 m
↓
S 66.783249°
E 99.711914°		 ← 481.58 m →
231 943 m²		 S 66.783249°
E 99.722900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776992797851562 y=0.751876831054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776992797851562 × 215)
    floor (0.776992797851562 × 32768)
    floor (25460.5)     		tx = 25460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751876831054688 × 215)
    floor (0.751876831054688 × 32768)
    floor (24637.5)     		ty = 24637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25460 / 24637 ti = "15/25460/24637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25460/24637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25460 ÷ 215
    25460 ÷ 32768     		x = 0.7769775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24637 ÷ 215
    24637 ÷ 32768     		y = 0.751861572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7769775390625 × 2 - 1) × π
    0.553955078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74030120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751861572265625 × 2 - 1) × π
    -0.50372314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58249293025729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74030120} λ = 1.74030120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58249293025729))-π/2
    2×atan(0.205462256155647)-π/2
    2×0.202642169821365-π/2
    0.405284339642729-1.57079632675     		φ = -1.16551199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74030120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.711914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16551199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.778918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25460 KachelY 24637 1.74030120 -1.16551199 99.711914 -66.778918
    Oben rechts KachelX + 1 25461 KachelY 24637 1.74049295 -1.16551199 99.722900 -66.778918
    Unten links KachelX 25460 KachelY + 1 24638 1.74030120 -1.16558758 99.711914 -66.783249
    Unten rechts KachelX + 1 25461 KachelY + 1 24638 1.74049295 -1.16558758 99.722900 -66.783249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16551199--1.16558758) × R
    7.55900000000143e-05 × 6371000     		dl = 481.583890000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16551199--1.16558758) × R
    7.55900000000143e-05 × 6371000     		dr = 481.583890000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74030120-1.74049295) × cos(-1.16551199) × R
    0.000191749999999935 × 0.394280079069352 × 6371000     		do = 481.668020084061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74030120-1.74049295) × cos(-1.16558758) × R
    0.000191749999999935 × 0.394210611464249 × 6371000     		du = 481.583155731064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16551199)-sin(-1.16558758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394280079069352-0.394210611464249)×R²
    abs(1.74049295-1.74030120)×6.94676051030685e-05×R²
    0.000191749999999935×6.94676051030685e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.94676051030685e-05×40589641000000     		ar = 231943.124258094m²