Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2546 / 625
↖ ↑ ↗
← N 77.137612°
E 43.769531°		 ← 2 175.57 m → N 77.137612°
E 43.857422°		 →
↑
2 177.16 m
↓
↑
2 177.16 m
↓
N 77.118032°
E 43.769531°		 ← 2 178.82 m →
4 740 104 m²		 N 77.118032°
E 43.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6217041015625 y=0.1527099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6217041015625 × 212)
    floor (0.6217041015625 × 4096)
    floor (2546.5)     		tx = 2546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1527099609375 × 212)
    floor (0.1527099609375 × 4096)
    floor (625.5)     		ty = 625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2546 / 625 ti = "12/2546/625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2546/625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2546 ÷ 212
    2546 ÷ 4096     		x = 0.62158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 625 ÷ 212
    625 ÷ 4096     		y = 0.152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62158203125 × 2 - 1) × π
    0.2431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76392243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152587890625 × 2 - 1) × π
    0.69482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18285466109888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76392243} λ = 0.76392243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18285466109888))-π/2
    2×atan(8.87159554406223)-π/2
    2×1.45855081488398-π/2
    2.91710162976797-1.57079632675     		φ = 1.34630530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76392243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34630530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.137612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2546 KachelY 625 0.76392243 1.34630530 43.769531 77.137612
    Oben rechts KachelX + 1 2547 KachelY 625 0.76545641 1.34630530 43.857422 77.137612
    Unten links KachelX 2546 KachelY + 1 626 0.76392243 1.34596357 43.769531 77.118032
    Unten rechts KachelX + 1 2547 KachelY + 1 626 0.76545641 1.34596357 43.857422 77.118032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34630530-1.34596357) × R
    0.000341729999999929 × 6371000     		dl = 2177.16182999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34630530-1.34596357) × R
    0.000341729999999929 × 6371000     		dr = 2177.16182999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76392243-0.76545641) × cos(1.34630530) × R
    0.00153397999999993 × 0.22261018917391 × 6371000     		do = 2175.56639136779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76392243-0.76545641) × cos(1.34596357) × R
    0.00153397999999993 × 0.222943331321548 × 6371000     		du = 2178.82218510589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34630530)-sin(1.34596357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22261018917391-0.222943331321548)×R²
    abs(0.76545641-0.76392243)×0.000333142147638771×R²
    0.00153397999999993×0.000333142147638771×6371000²
    0.00153397999999993×0.000333142147638771×40589641000000     		ar = 4740104.34696921m²