Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2546 / 3595
↖ ↑ ↗
← S 79.351472°
E 43.769531°		 ← 1 805.89 m → S 79.351472°
E 43.857422°		 →
↑
1 804.52 m
↓
↑
1 804.52 m
↓
S 79.367701°
E 43.769531°		 ← 1 803.17 m →
3 256 313 m²		 S 79.367701°
E 43.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6217041015625 y=0.8778076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6217041015625 × 212)
    floor (0.6217041015625 × 4096)
    floor (2546.5)     		tx = 2546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8778076171875 × 212)
    floor (0.8778076171875 × 4096)
    floor (3595.5)     		ty = 3595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2546 / 3595 ti = "12/2546/3595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2546/3595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2546 ÷ 212
    2546 ÷ 4096     		x = 0.62158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3595 ÷ 212
    3595 ÷ 4096     		y = 0.877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62158203125 × 2 - 1) × π
    0.2431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76392243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877685546875 × 2 - 1) × π
    -0.75537109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37306827879126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76392243} λ = 0.76392243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37306827879126))-π/2
    2×atan(0.0931943409279531)-π/2
    2×0.0929259348699462-π/2
    0.185851869739892-1.57079632675     		φ = -1.38494446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76392243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38494446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.351472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2546 KachelY 3595 0.76392243 -1.38494446 43.769531 -79.351472
    Oben rechts KachelX + 1 2547 KachelY 3595 0.76545641 -1.38494446 43.857422 -79.351472
    Unten links KachelX 2546 KachelY + 1 3596 0.76392243 -1.38522770 43.769531 -79.367701
    Unten rechts KachelX + 1 2547 KachelY + 1 3596 0.76545641 -1.38522770 43.857422 -79.367701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38494446--1.38522770) × R
    0.000283239999999907 × 6371000     		dl = 1804.52203999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38494446--1.38522770) × R
    0.000283239999999907 × 6371000     		dr = 1804.52203999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76392243-0.76545641) × cos(-1.38494446) × R
    0.00153397999999993 × 0.184783797437298 × 6371000     		do = 1805.88957255607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76392243-0.76545641) × cos(-1.38522770) × R
    0.00153397999999993 × 0.184505427649398 × 6371000     		du = 1803.16906835465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38494446)-sin(-1.38522770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184783797437298-0.184505427649398)×R²
    abs(0.76545641-0.76392243)×0.000278369787900051×R²
    0.00153397999999993×0.000278369787900051×6371000²
    0.00153397999999993×0.000278369787900051×40589641000000     		ar = 3256312.95236071m²