Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25456 / 24496
↖ ↑ ↗
← S 66.160510°
E 99.667969°		 ← 493.76 m → S 66.160510°
E 99.678955°		 →
↑
493.75 m
↓
↑
493.75 m
↓
S 66.164951°
E 99.667969°		 ← 493.67 m →
243 772 m²		 S 66.164951°
E 99.678955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776870727539062 y=0.747573852539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776870727539062 × 215)
    floor (0.776870727539062 × 32768)
    floor (25456.5)     		tx = 25456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747573852539062 × 215)
    floor (0.747573852539062 × 32768)
    floor (24496.5)     		ty = 24496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25456 / 24496 ti = "15/25456/24496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25456/24496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25456 ÷ 215
    25456 ÷ 32768     		x = 0.77685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24496 ÷ 215
    24496 ÷ 32768     		y = 0.74755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77685546875 × 2 - 1) × π
    0.5537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73953421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74755859375 × 2 - 1) × π
    -0.4951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55545651887158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73953421} λ = 1.73953421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55545651887158))-π/2
    2×atan(0.211092992705904)-π/2
    2×0.20803879136855-π/2
    0.4160775827371-1.57079632675     		φ = -1.15471874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73953421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.667969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15471874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.160510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25456 KachelY 24496 1.73953421 -1.15471874 99.667969 -66.160510
    Oben rechts KachelX + 1 25457 KachelY 24496 1.73972596 -1.15471874 99.678955 -66.160510
    Unten links KachelX 25456 KachelY + 1 24497 1.73953421 -1.15479624 99.667969 -66.164951
    Unten rechts KachelX + 1 25457 KachelY + 1 24497 1.73972596 -1.15479624 99.678955 -66.164951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15471874--1.15479624) × R
    7.74999999999526e-05 × 6371000     		dl = 493.752499999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15471874--1.15479624) × R
    7.74999999999526e-05 × 6371000     		dr = 493.752499999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73953421-1.73972596) × cos(-1.15471874) × R
    0.000191749999999935 × 0.40417581336684 × 6371000     		do = 493.757037509439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73953421-1.73972596) × cos(-1.15479624) × R
    0.000191749999999935 × 0.404104924351044 × 6371000     		du = 493.670436705349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15471874)-sin(-1.15479624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40417581336684-0.404104924351044)×R²
    abs(1.73972596-1.73953421)×7.08890157963271e-05×R²
    0.000191749999999935×7.08890157963271e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.08890157963271e-05×40589641000000     		ar = 243772.392103156m²