Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25456 / 24147
↖ ↑ ↗
← S 64.562600°
E 99.667969°		 ← 524.72 m → S 64.562600°
E 99.678955°		 →
↑
524.72 m
↓
↑
524.72 m
↓
S 64.567319°
E 99.667969°		 ← 524.63 m →
275 307 m²		 S 64.567319°
E 99.678955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776870727539062 y=0.736923217773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776870727539062 × 215)
    floor (0.776870727539062 × 32768)
    floor (25456.5)     		tx = 25456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736923217773438 × 215)
    floor (0.736923217773438 × 32768)
    floor (24147.5)     		ty = 24147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25456 / 24147 ti = "15/25456/24147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25456/24147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25456 ÷ 215
    25456 ÷ 32768     		x = 0.77685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24147 ÷ 215
    24147 ÷ 32768     		y = 0.736907958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77685546875 × 2 - 1) × π
    0.5537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73953421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736907958984375 × 2 - 1) × π
    -0.47381591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48853660700198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73953421} λ = 1.73953421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48853660700198))-π/2
    2×atan(0.225702705743177)-π/2
    2×0.221983187051187-π/2
    0.443966374102375-1.57079632675     		φ = -1.12682995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73953421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.667969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12682995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.562600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25456 KachelY 24147 1.73953421 -1.12682995 99.667969 -64.562600
    Oben rechts KachelX + 1 25457 KachelY 24147 1.73972596 -1.12682995 99.678955 -64.562600
    Unten links KachelX 25456 KachelY + 1 24148 1.73953421 -1.12691231 99.667969 -64.567319
    Unten rechts KachelX + 1 25457 KachelY + 1 24148 1.73972596 -1.12691231 99.678955 -64.567319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12682995--1.12691231) × R
    8.2359999999948e-05 × 6371000     		dl = 524.715559999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12682995--1.12691231) × R
    8.2359999999948e-05 × 6371000     		dr = 524.715559999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73953421-1.73972596) × cos(-1.12682995) × R
    0.000191749999999935 × 0.429524691192493 × 6371000     		do = 524.724221604701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73953421-1.73972596) × cos(-1.12691231) × R
    0.000191749999999935 × 0.429450314116585 × 6371000     		du = 524.633359649472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12682995)-sin(-1.12691231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429524691192493-0.429450314116585)×R²
    abs(1.73972596-1.73953421)×7.43770759077944e-05×R²
    0.000191749999999935×7.43770759077944e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.43770759077944e-05×40589641000000     		ar = 275307.12559948m²