Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25455 / 26223
↖ ↑ ↗
← N 33.801973°
W 40.171509°		 ← 507.54 m → N 33.801973°
W 40.166016°		 →
↑
507.58 m
↓
↑
507.58 m
↓
N 33.797409°
W 40.171509°		 ← 507.57 m →
257 625 m²		 N 33.797409°
W 40.166016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388420104980469 y=0.400138854980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388420104980469 × 216)
    floor (0.388420104980469 × 65536)
    floor (25455.5)     		tx = 25455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400138854980469 × 216)
    floor (0.400138854980469 × 65536)
    floor (26223.5)     		ty = 26223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25455 / 26223 ti = "16/25455/26223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25455/26223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25455 ÷ 216
    25455 ÷ 65536     		x = 0.388412475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26223 ÷ 216
    26223 ÷ 65536     		y = 0.400131225585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388412475585938 × 2 - 1) × π
    -0.223175048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.70112509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.400131225585938 × 2 - 1) × π
    0.199737548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.627494016026535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70112509} λ = -0.70112509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.627494016026535))-π/2
    2×atan(1.87291120797818)-π/2
    2×1.08037602917109-π/2
    2.16075205834217-1.57079632675     		φ = 0.58995573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70112509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.171509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58995573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.801973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25455 KachelY 26223 -0.70112509 0.58995573 -40.171509 33.801973
    Oben rechts KachelX + 1 25456 KachelY 26223 -0.70102922 0.58995573 -40.166016 33.801973
    Unten links KachelX 25455 KachelY + 1 26224 -0.70112509 0.58987606 -40.171509 33.797409
    Unten rechts KachelX + 1 25456 KachelY + 1 26224 -0.70102922 0.58987606 -40.166016 33.797409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58995573-0.58987606) × R
    7.96699999999761e-05 × 6371000     		dl = 507.577569999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58995573-0.58987606) × R
    7.96699999999761e-05 × 6371000     		dr = 507.577569999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70112509--0.70102922) × cos(0.58995573) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.830965308388387 × 6371000     		do = 507.543447657894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70112509--0.70102922) × cos(0.58987606) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.831009628103076 × 6371000     		du = 507.570517597596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58995573)-sin(0.58987606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830965308388387-0.831009628103076)×R²
    abs(-0.70102922--0.70112509)×4.43197146882124e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43197146882124e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43197146882124e-05×40589641000000     		ar = 257624.540015234m²