Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25454 / 24152
↖ ↑ ↗
← S 64.586185°
E 99.645996°		 ← 524.27 m → S 64.586185°
E 99.656983°		 →
↑
524.21 m
↓
↑
524.21 m
↓
S 64.590899°
E 99.645996°		 ← 524.18 m →
274 802 m²		 S 64.590899°
E 99.656983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776809692382812 y=0.737075805664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776809692382812 × 215)
    floor (0.776809692382812 × 32768)
    floor (25454.5)     		tx = 25454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737075805664062 × 215)
    floor (0.737075805664062 × 32768)
    floor (24152.5)     		ty = 24152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25454 / 24152 ti = "15/25454/24152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25454/24152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25454 ÷ 215
    25454 ÷ 32768     		x = 0.77679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24152 ÷ 215
    24152 ÷ 32768     		y = 0.737060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77679443359375 × 2 - 1) × π
    0.5535888671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73915072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737060546875 × 2 - 1) × π
    -0.47412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48949534499438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73915072} λ = 1.73915072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48949534499438))-π/2
    2×atan(0.225486419681593)-π/2
    2×0.221777375346157-π/2
    0.443554750692314-1.57079632675     		φ = -1.12724158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73915072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.645996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12724158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.586185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25454 KachelY 24152 1.73915072 -1.12724158 99.645996 -64.586185
    Oben rechts KachelX + 1 25455 KachelY 24152 1.73934247 -1.12724158 99.656983 -64.586185
    Unten links KachelX 25454 KachelY + 1 24153 1.73915072 -1.12732386 99.645996 -64.590899
    Unten rechts KachelX + 1 25455 KachelY + 1 24153 1.73934247 -1.12732386 99.656983 -64.590899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12724158--1.12732386) × R
    8.22799999999901e-05 × 6371000     		dl = 524.205879999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12724158--1.12732386) × R
    8.22799999999901e-05 × 6371000     		dr = 524.205879999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73915072-1.73934247) × cos(-1.12724158) × R
    0.000191749999999935 × 0.429152930237076 × 6371000     		do = 524.270063829946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73915072-1.73934247) × cos(-1.12732386) × R
    0.000191749999999935 × 0.429078610868423 × 6371000     		du = 524.179272372165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12724158)-sin(-1.12732386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429152930237076-0.429078610868423)×R²
    abs(1.73934247-1.73915072)×7.43193686523203e-05×R²
    0.000191749999999935×7.43193686523203e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.43193686523203e-05×40589641000000     		ar = 274801.653614546m²