Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25454 / 24140
↖ ↑ ↗
← S 64.529548°
E 99.645996°		 ← 525.36 m → S 64.529548°
E 99.656983°		 →
↑
525.29 m
↓
↑
525.29 m
↓
S 64.534272°
E 99.645996°		 ← 525.27 m →
275 942 m²		 S 64.534272°
E 99.656983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776809692382812 y=0.736709594726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776809692382812 × 215)
    floor (0.776809692382812 × 32768)
    floor (25454.5)     		tx = 25454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736709594726562 × 215)
    floor (0.736709594726562 × 32768)
    floor (24140.5)     		ty = 24140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25454 / 24140 ti = "15/25454/24140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25454/24140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25454 ÷ 215
    25454 ÷ 32768     		x = 0.77679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24140 ÷ 215
    24140 ÷ 32768     		y = 0.7366943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77679443359375 × 2 - 1) × π
    0.5535888671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73915072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7366943359375 × 2 - 1) × π
    -0.473388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48719437381262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73915072} λ = 1.73915072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48719437381262))-π/2
    2×atan(0.22600585480861)-π/2
    2×0.222271622954443-π/2
    0.444543245908885-1.57079632675     		φ = -1.12625308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73915072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.645996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12625308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.529548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25454 KachelY 24140 1.73915072 -1.12625308 99.645996 -64.529548
    Oben rechts KachelX + 1 25455 KachelY 24140 1.73934247 -1.12625308 99.656983 -64.529548
    Unten links KachelX 25454 KachelY + 1 24141 1.73915072 -1.12633553 99.645996 -64.534272
    Unten rechts KachelX + 1 25455 KachelY + 1 24141 1.73934247 -1.12633553 99.656983 -64.534272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12625308--1.12633553) × R
    8.24500000000672e-05 × 6371000     		dl = 525.288950000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12625308--1.12633553) × R
    8.24500000000672e-05 × 6371000     		dr = 525.288950000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73915072-1.73934247) × cos(-1.12625308) × R
    0.000191749999999935 × 0.430045565099052 × 6371000     		do = 525.360541613254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73915072-1.73934247) × cos(-1.12633553) × R
    0.000191749999999935 × 0.429971127185069 × 6371000     		du = 525.269605335844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12625308)-sin(-1.12633553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430045565099052-0.429971127185069)×R²
    abs(1.73934247-1.73915072)×7.44379139827611e-05×R²
    0.000191749999999935×7.44379139827611e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.44379139827611e-05×40589641000000     		ar = 275942.203521221m²