Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25453 / 24552
↖ ↑ ↗
← S 66.407955°
E 99.635010°		 ← 488.93 m → S 66.407955°
E 99.645996°		 →
↑
488.91 m
↓
↑
488.91 m
↓
S 66.412352°
E 99.635010°		 ← 488.84 m →
239 020 m²		 S 66.412352°
E 99.645996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776779174804688 y=0.749282836914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776779174804688 × 215)
    floor (0.776779174804688 × 32768)
    floor (25453.5)     		tx = 25453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749282836914062 × 215)
    floor (0.749282836914062 × 32768)
    floor (24552.5)     		ty = 24552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25453 / 24552 ti = "15/25453/24552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25453/24552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25453 ÷ 215
    25453 ÷ 32768     		x = 0.776763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24552 ÷ 215
    24552 ÷ 32768     		y = 0.749267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776763916015625 × 2 - 1) × π
    0.55352783203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73895897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749267578125 × 2 - 1) × π
    -0.49853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56619438438647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73895897} λ = 1.73895897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56619438438647))-π/2
    2×atan(0.208838430793269)-π/2
    2×0.205879427086346-π/2
    0.411758854172693-1.57079632675     		φ = -1.15903747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73895897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.635010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15903747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.407955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25453 KachelY 24552 1.73895897 -1.15903747 99.635010 -66.407955
    Oben rechts KachelX + 1 25454 KachelY 24552 1.73915072 -1.15903747 99.645996 -66.407955
    Unten links KachelX 25453 KachelY + 1 24553 1.73895897 -1.15911421 99.635010 -66.412352
    Unten rechts KachelX + 1 25454 KachelY + 1 24553 1.73915072 -1.15911421 99.645996 -66.412352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15903747--1.15911421) × R
    7.67400000001306e-05 × 6371000     		dl = 488.910540000832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15903747--1.15911421) × R
    7.67400000001306e-05 × 6371000     		dr = 488.910540000832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73895897-1.73915072) × cos(-1.15903747) × R
    0.000191749999999935 × 0.400221794779465 × 6371000     		do = 488.926653207874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73895897-1.73915072) × cos(-1.15911421) × R
    0.000191749999999935 × 0.40015146766013 × 6371000     		du = 488.840738838555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15903747)-sin(-1.15911421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400221794779465-0.40015146766013)×R²
    abs(1.73915072-1.73895897)×7.03271193349675e-05×R²
    0.000191749999999935×7.03271193349675e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.03271193349675e-05×40589641000000     		ar = 239020.391938204m²