Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25453 / 24146
↖ ↑ ↗
← S 64.557881°
E 99.635010°		 ← 524.82 m → S 64.557881°
E 99.645996°		 →
↑
524.72 m
↓
↑
524.72 m
↓
S 64.562600°
E 99.635010°		 ← 524.72 m →
275 355 m²		 S 64.562600°
E 99.645996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776779174804688 y=0.736892700195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776779174804688 × 215)
    floor (0.776779174804688 × 32768)
    floor (25453.5)     		tx = 25453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736892700195312 × 215)
    floor (0.736892700195312 × 32768)
    floor (24146.5)     		ty = 24146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25453 / 24146 ti = "15/25453/24146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25453/24146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25453 ÷ 215
    25453 ÷ 32768     		x = 0.776763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24146 ÷ 215
    24146 ÷ 32768     		y = 0.73687744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776763916015625 × 2 - 1) × π
    0.55352783203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73895897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73687744140625 × 2 - 1) × π
    -0.4737548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4883448594035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73895897} λ = 1.73895897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4883448594035))-π/2
    2×atan(0.225745987844461)-π/2
    2×0.222024370780476-π/2
    0.444048741560952-1.57079632675     		φ = -1.12674759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73895897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.635010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12674759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.557881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25453 KachelY 24146 1.73895897 -1.12674759 99.635010 -64.557881
    Oben rechts KachelX + 1 25454 KachelY 24146 1.73915072 -1.12674759 99.645996 -64.557881
    Unten links KachelX 25453 KachelY + 1 24147 1.73895897 -1.12682995 99.635010 -64.562600
    Unten rechts KachelX + 1 25454 KachelY + 1 24147 1.73915072 -1.12682995 99.645996 -64.562600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12674759--1.12682995) × R
    8.23600000001701e-05 × 6371000     		dl = 524.715560001084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12674759--1.12682995) × R
    8.23600000001701e-05 × 6371000     		dr = 524.715560001084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73895897-1.73915072) × cos(-1.12674759) × R
    0.000191749999999935 × 0.429599065354862 × 6371000     		do = 524.815080000637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73895897-1.73915072) × cos(-1.12682995) × R
    0.000191749999999935 × 0.429524691192493 × 6371000     		du = 524.724221604701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12674759)-sin(-1.12682995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429599065354862-0.429524691192493)×R²
    abs(1.73915072-1.73895897)×7.43741623692173e-05×R²
    0.000191749999999935×7.43741623692173e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.43741623692173e-05×40589641000000     		ar = 275354.801347814m²