Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25449 / 24655
↖ ↑ ↗
← S 66.856765°
E 99.591064°		 ← 480.14 m → S 66.856765°
E 99.602051°		 →
↑
480.12 m
↓
↑
480.12 m
↓
S 66.861082°
E 99.591064°		 ← 480.06 m →
230 505 m²		 S 66.861082°
E 99.602051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776657104492188 y=0.752426147460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776657104492188 × 215)
    floor (0.776657104492188 × 32768)
    floor (25449.5)     		tx = 25449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752426147460938 × 215)
    floor (0.752426147460938 × 32768)
    floor (24655.5)     		ty = 24655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25449 / 24655 ti = "15/25449/24655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25449/24655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25449 ÷ 215
    25449 ÷ 32768     		x = 0.776641845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24655 ÷ 215
    24655 ÷ 32768     		y = 0.752410888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776641845703125 × 2 - 1) × π
    0.55328369140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73819198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.50482177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58594438702994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73819198} λ = 1.73819198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58594438702994))-π/2
    2×atan(0.204754334443473)-π/2
    2×0.201962827658848-π/2
    0.403925655317696-1.57079632675     		φ = -1.16687067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73819198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.591064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16687067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.856765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25449 KachelY 24655 1.73819198 -1.16687067 99.591064 -66.856765
    Oben rechts KachelX + 1 25450 KachelY 24655 1.73838373 -1.16687067 99.602051 -66.856765
    Unten links KachelX 25449 KachelY + 1 24656 1.73819198 -1.16694603 99.591064 -66.861082
    Unten rechts KachelX + 1 25450 KachelY + 1 24656 1.73838373 -1.16694603 99.602051 -66.861082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16687067--1.16694603) × R
    7.53600000000798e-05 × 6371000     		dl = 480.118560000508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16687067--1.16694603) × R
    7.53600000000798e-05 × 6371000     		dr = 480.118560000508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73819198-1.73838373) × cos(-1.16687067) × R
    0.000191749999999935 × 0.393031101754713 × 6371000     		do = 480.142220374138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73819198-1.73838373) × cos(-1.16694603) × R
    0.000191749999999935 × 0.392961805221324 × 6371000     		du = 480.057565009061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16687067)-sin(-1.16694603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393031101754713-0.392961805221324)×R²
    abs(1.73838373-1.73819198)×6.92965333889961e-05×R²
    0.000191749999999935×6.92965333889961e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.92965333889961e-05×40589641000000     		ar = 230504.869244419m²