Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25448 / 24165
↖ ↑ ↗
← S 64.647408°
E 99.580078°		 ← 523.09 m → S 64.647408°
E 99.591064°		 →
↑
523.06 m
↓
↑
523.06 m
↓
S 64.652112°
E 99.580078°		 ← 523 m →
273 584 m²		 S 64.652112°
E 99.591064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776626586914062 y=0.737472534179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776626586914062 × 215)
    floor (0.776626586914062 × 32768)
    floor (25448.5)     		tx = 25448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737472534179688 × 215)
    floor (0.737472534179688 × 32768)
    floor (24165.5)     		ty = 24165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25448 / 24165 ti = "15/25448/24165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25448/24165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25448 ÷ 215
    25448 ÷ 32768     		x = 0.776611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24165 ÷ 215
    24165 ÷ 32768     		y = 0.737457275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776611328125 × 2 - 1) × π
    0.55322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73800023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.47491455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49198806377463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73800023} λ = 1.73800023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49198806377463))-π/2
    2×atan(0.224925045413335)-π/2
    2×0.22124309834804-π/2
    0.44248619669608-1.57079632675     		φ = -1.12831013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73800023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.580078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12831013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.647408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25448 KachelY 24165 1.73800023 -1.12831013 99.580078 -64.647408
    Oben rechts KachelX + 1 25449 KachelY 24165 1.73819198 -1.12831013 99.591064 -64.647408
    Unten links KachelX 25448 KachelY + 1 24166 1.73800023 -1.12839223 99.580078 -64.652112
    Unten rechts KachelX + 1 25449 KachelY + 1 24166 1.73819198 -1.12839223 99.591064 -64.652112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12831013--1.12839223) × R
    8.20999999999739e-05 × 6371000     		dl = 523.059099999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12831013--1.12839223) × R
    8.20999999999739e-05 × 6371000     		dr = 523.059099999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73800023-1.73819198) × cos(-1.12831013) × R
    0.000191750000000157 × 0.42818753703156 × 6371000     		do = 523.090701599011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73800023-1.73819198) × cos(-1.12839223) × R
    0.000191750000000157 × 0.428113342647875 × 6371000     		du = 523.000062827771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12831013)-sin(-1.12839223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42818753703156-0.428113342647875)×R²
    abs(1.73819198-1.73800023)×7.41943836850556e-05×R²
    0.000191750000000157×7.41943836850556e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.41943836850556e-05×40589641000000     		ar = 273583.647032764m²