Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25446 / 24164
↖ ↑ ↗
← S 64.642704°
E 99.558106°		 ← 523.18 m → S 64.642704°
E 99.569092°		 →
↑
523.12 m
↓
↑
523.12 m
↓
S 64.647408°
E 99.558106°		 ← 523.09 m →
273 664 m²		 S 64.647408°
E 99.569092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776565551757812 y=0.737442016601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776565551757812 × 215)
    floor (0.776565551757812 × 32768)
    floor (25446.5)     		tx = 25446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737442016601562 × 215)
    floor (0.737442016601562 × 32768)
    floor (24164.5)     		ty = 24164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25446 / 24164 ti = "15/25446/24164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25446/24164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25446 ÷ 215
    25446 ÷ 32768     		x = 0.77655029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24164 ÷ 215
    24164 ÷ 32768     		y = 0.7374267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77655029296875 × 2 - 1) × π
    0.5531005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73761674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.474853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49179631617615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73761674} λ = 1.73761674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49179631617615))-π/2
    2×atan(0.224968178385821)-π/2
    2×0.221284153870903-π/2
    0.442568307741807-1.57079632675     		φ = -1.12822802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73761674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.558106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12822802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.642704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25446 KachelY 24164 1.73761674 -1.12822802 99.558106 -64.642704
    Oben rechts KachelX + 1 25447 KachelY 24164 1.73780849 -1.12822802 99.569092 -64.642704
    Unten links KachelX 25446 KachelY + 1 24165 1.73761674 -1.12831013 99.558106 -64.647408
    Unten rechts KachelX + 1 25447 KachelY + 1 24165 1.73780849 -1.12831013 99.569092 -64.647408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12822802--1.12831013) × R
    8.21099999999131e-05 × 6371000     		dl = 523.122809999446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12822802--1.12831013) × R
    8.21099999999131e-05 × 6371000     		dr = 523.122809999446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73761674-1.73780849) × cos(-1.12822802) × R
    0.000191749999999935 × 0.428261737565633 × 6371000     		do = 523.181347883199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73761674-1.73780849) × cos(-1.12831013) × R
    0.000191749999999935 × 0.42818753703156 × 6371000     		du = 523.090701598405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12822802)-sin(-1.12831013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428261737565633-0.42818753703156)×R²
    abs(1.73780849-1.73761674)×7.42005340728658e-05×R²
    0.000191749999999935×7.42005340728658e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.42005340728658e-05×40589641000000     		ar = 273664.387427911m²