Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25445 / 24630
↖ ↑ ↗
← S 66.748577°
E 99.547119°		 ← 482.26 m → S 66.748577°
E 99.558106°		 →
↑
482.22 m
↓
↑
482.22 m
↓
S 66.752914°
E 99.547119°		 ← 482.18 m →
232 537 m²		 S 66.752914°
E 99.558106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776535034179688 y=0.751663208007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776535034179688 × 215)
    floor (0.776535034179688 × 32768)
    floor (25445.5)     		tx = 25445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751663208007812 × 215)
    floor (0.751663208007812 × 32768)
    floor (24630.5)     		ty = 24630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25445 / 24630 ti = "15/25445/24630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25445/24630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25445 ÷ 215
    25445 ÷ 32768     		x = 0.776519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24630 ÷ 215
    24630 ÷ 32768     		y = 0.75164794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776519775390625 × 2 - 1) × π
    0.55303955078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73742499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75164794921875 × 2 - 1) × π
    -0.5032958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58115069706793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73742499} λ = 1.73742499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58115069706793))-π/2
    2×atan(0.205738219577221)-π/2
    2×0.202906940978723-π/2
    0.405813881957446-1.57079632675     		φ = -1.16498244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73742499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.547119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16498244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.748577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25445 KachelY 24630 1.73742499 -1.16498244 99.547119 -66.748577
    Oben rechts KachelX + 1 25446 KachelY 24630 1.73761674 -1.16498244 99.558106 -66.748577
    Unten links KachelX 25445 KachelY + 1 24631 1.73742499 -1.16505813 99.547119 -66.752914
    Unten rechts KachelX + 1 25446 KachelY + 1 24631 1.73761674 -1.16505813 99.558106 -66.752914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16498244--1.16505813) × R
    7.56900000000726e-05 × 6371000     		dl = 482.220990000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16498244--1.16505813) × R
    7.56900000000726e-05 × 6371000     		dr = 482.220990000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73742499-1.73761674) × cos(-1.16498244) × R
    0.000191749999999935 × 0.394766675091092 × 6371000     		do = 482.262464883112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73742499-1.73761674) × cos(-1.16505813) × R
    0.000191749999999935 × 0.394697131395724 × 6371000     		du = 482.177507575261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16498244)-sin(-1.16505813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394766675091092-0.394697131395724)×R²
    abs(1.73761674-1.73742499)×6.95436953675466e-05×R²
    0.000191749999999935×6.95436953675466e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.95436953675466e-05×40589641000000     		ar = 232536.599268698m²