Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25443 / 24163
↖ ↑ ↗
← S 64.637998°
E 99.525146°		 ← 523.27 m → S 64.637998°
E 99.536133°		 →
↑
523.25 m
↓
↑
523.25 m
↓
S 64.642704°
E 99.525146°		 ← 523.18 m →
273 778 m²		 S 64.642704°
E 99.536133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776473999023438 y=0.737411499023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776473999023438 × 215)
    floor (0.776473999023438 × 32768)
    floor (25443.5)     		tx = 25443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737411499023438 × 215)
    floor (0.737411499023438 × 32768)
    floor (24163.5)     		ty = 24163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25443 / 24163 ti = "15/25443/24163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25443/24163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25443 ÷ 215
    25443 ÷ 32768     		x = 0.776458740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24163 ÷ 215
    24163 ÷ 32768     		y = 0.737396240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776458740234375 × 2 - 1) × π
    0.55291748046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73704149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737396240234375 × 2 - 1) × π
    -0.47479248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49160456857767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73704149} λ = 1.73704149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49160456857767))-π/2
    2×atan(0.225011319629744)-π/2
    2×0.221325216508222-π/2
    0.442650433016444-1.57079632675     		φ = -1.12814589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73704149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.525146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12814589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.637998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25443 KachelY 24163 1.73704149 -1.12814589 99.525146 -64.637998
    Oben rechts KachelX + 1 25444 KachelY 24163 1.73723324 -1.12814589 99.536133 -64.637998
    Unten links KachelX 25443 KachelY + 1 24164 1.73704149 -1.12822802 99.525146 -64.642704
    Unten rechts KachelX + 1 25444 KachelY + 1 24164 1.73723324 -1.12822802 99.536133 -64.642704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12814589--1.12822802) × R
    8.21300000000136e-05 × 6371000     		dl = 523.250230000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12814589--1.12822802) × R
    8.21300000000136e-05 × 6371000     		dr = 523.250230000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73704149-1.73723324) × cos(-1.12814589) × R
    0.000191749999999935 × 0.428335953284734 × 6371000     		do = 523.27201271862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73704149-1.73723324) × cos(-1.12822802) × R
    0.000191749999999935 × 0.428261737565633 × 6371000     		du = 523.181347883199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12814589)-sin(-1.12822802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428335953284734-0.428261737565633)×R²
    abs(1.73723324-1.73704149)×7.42157191012671e-05×R²
    0.000191749999999935×7.42157191012671e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.42157191012671e-05×40589641000000     		ar = 273778.480963722m²