Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25440 / 24480
↖ ↑ ↗
← S 66.089364°
E 99.492187°		 ← 495.14 m → S 66.089364°
E 99.503174°		 →
↑
495.09 m
↓
↑
495.09 m
↓
S 66.093817°
E 99.492187°		 ← 495.06 m →
245 120 m²		 S 66.093817°
E 99.503174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776382446289062 y=0.747085571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776382446289062 × 215)
    floor (0.776382446289062 × 32768)
    floor (25440.5)     		tx = 25440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747085571289062 × 215)
    floor (0.747085571289062 × 32768)
    floor (24480.5)     		ty = 24480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25440 / 24480 ti = "15/25440/24480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25440/24480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25440 ÷ 215
    25440 ÷ 32768     		x = 0.7763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24480 ÷ 215
    24480 ÷ 32768     		y = 0.7470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7763671875 × 2 - 1) × π
    0.552734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73646625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7470703125 × 2 - 1) × π
    -0.494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5523885572959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73646625} λ = 1.73646625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5523885572959))-π/2
    2×atan(0.211741612357751)-π/2
    2×0.208659659871632-π/2
    0.417319319743264-1.57079632675     		φ = -1.15347701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73646625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.492187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15347701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.089364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25440 KachelY 24480 1.73646625 -1.15347701 99.492187 -66.089364
    Oben rechts KachelX + 1 25441 KachelY 24480 1.73665800 -1.15347701 99.503174 -66.089364
    Unten links KachelX 25440 KachelY + 1 24481 1.73646625 -1.15355472 99.492187 -66.093817
    Unten rechts KachelX + 1 25441 KachelY + 1 24481 1.73665800 -1.15355472 99.503174 -66.093817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15347701--1.15355472) × R
    7.77100000000086e-05 × 6371000     		dl = 495.090410000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15347701--1.15355472) × R
    7.77100000000086e-05 × 6371000     		dr = 495.090410000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73646625-1.73665800) × cos(-1.15347701) × R
    0.000191749999999935 × 0.405311288708903 × 6371000     		do = 495.14417875471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73646625-1.73665800) × cos(-1.15355472) × R
    0.000191749999999935 × 0.405240246655684 × 6371000     		du = 495.057390994097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15347701)-sin(-1.15355472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405311288708903-0.405240246655684)×R²
    abs(1.73665800-1.73646625)×7.1042053219228e-05×R²
    0.000191749999999935×7.1042053219228e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.1042053219228e-05×40589641000000     		ar = 245119.650697946m²