Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2544 / 1520
↖ ↑ ↗
← N 81.147481°
W124.101562°		 ← 375.99 m → N 81.147481°
W124.079590°		 →
↑
376.08 m
↓
↑
376.08 m
↓
N 81.144099°
W124.101562°		 ← 376.13 m →
141 429 m²		 N 81.144099°
W124.079590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.155303955078125 y=0.092803955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.155303955078125 × 214)
    floor (0.155303955078125 × 16384)
    floor (2544.5)     		tx = 2544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.092803955078125 × 214)
    floor (0.092803955078125 × 16384)
    floor (1520.5)     		ty = 1520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2544 / 1520 ti = "14/2544/1520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2544/1520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2544 ÷ 214
    2544 ÷ 16384     		x = 0.1552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1520 ÷ 214
    1520 ÷ 16384     		y = 0.0927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1552734375 × 2 - 1) × π
    -0.689453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.16598087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0927734375 × 2 - 1) × π
    0.814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55867995412012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16598087} λ = -2.16598087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55867995412012))-π/2
    2×atan(12.9187527087027)-π/2
    2×1.4935435223922-π/2
    2.9870870447844-1.57079632675     		φ = 1.41629072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16598087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.101562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41629072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.147481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2544 KachelY 1520 -2.16598087 1.41629072 -124.101562 81.147481
    Oben rechts KachelX + 1 2545 KachelY 1520 -2.16559738 1.41629072 -124.079590 81.147481
    Unten links KachelX 2544 KachelY + 1 1521 -2.16598087 1.41623169 -124.101562 81.144099
    Unten rechts KachelX + 1 2545 KachelY + 1 1521 -2.16559738 1.41623169 -124.079590 81.144099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41629072-1.41623169) × R
    5.90299999998489e-05 × 6371000     		dl = 376.080129999038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41629072-1.41623169) × R
    5.90299999998489e-05 × 6371000     		dr = 376.080129999038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16598087--2.16559738) × cos(1.41629072) × R
    0.000383489999999931 × 0.153891614256514 × 6371000     		do = 375.990268008422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16598087--2.16559738) × cos(1.41623169) × R
    0.000383489999999931 × 0.153949940807326 × 6371000     		du = 376.132772300017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41629072)-sin(1.41623169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153891614256514-0.153949940807326)×R²
    abs(-2.16559738--2.16598087)×5.83265508124486e-05×R²
    0.000383489999999931×5.83265508124486e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.83265508124486e-05×40589641000000     		ar = 141429.265428751m²