Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25438 / 24166
↖ ↑ ↗
← S 64.652112°
E 99.470215°		 ← 522.97 m → S 64.652112°
E 99.481201°		 →
↑
522.93 m
↓
↑
522.93 m
↓
S 64.656815°
E 99.470215°		 ← 522.88 m →
273 455 m²		 S 64.656815°
E 99.481201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776321411132812 y=0.737503051757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776321411132812 × 215)
    floor (0.776321411132812 × 32768)
    floor (25438.5)     		tx = 25438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737503051757812 × 215)
    floor (0.737503051757812 × 32768)
    floor (24166.5)     		ty = 24166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25438 / 24166 ti = "15/25438/24166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25438/24166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25438 ÷ 215
    25438 ÷ 32768     		x = 0.77630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24166 ÷ 215
    24166 ÷ 32768     		y = 0.73748779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77630615234375 × 2 - 1) × π
    0.5526123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73608276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.4749755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49217981137311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73608276} λ = 1.73608276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49217981137311))-π/2
    2×atan(0.2248819207107)-π/2
    2×0.221202049938677-π/2
    0.442404099877354-1.57079632675     		φ = -1.12839223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73608276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.470215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12839223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.652112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25438 KachelY 24166 1.73608276 -1.12839223 99.470215 -64.652112
    Oben rechts KachelX + 1 25439 KachelY 24166 1.73627450 -1.12839223 99.481201 -64.652112
    Unten links KachelX 25438 KachelY + 1 24167 1.73608276 -1.12847431 99.470215 -64.656815
    Unten rechts KachelX + 1 25439 KachelY + 1 24167 1.73627450 -1.12847431 99.481201 -64.656815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12839223--1.12847431) × R
    8.20800000000954e-05 × 6371000     		dl = 522.931680000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12839223--1.12847431) × R
    8.20800000000954e-05 × 6371000     		dr = 522.931680000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73608276-1.73627450) × cos(-1.12839223) × R
    0.000191739999999996 × 0.428113342647875 × 6371000     		do = 522.972787726271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73608276-1.73627450) × cos(-1.12847431) × R
    0.000191739999999996 × 0.428039163453734 × 6371000     		du = 522.882172237132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12839223)-sin(-1.12847431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428113342647875-0.428039163453734)×R²
    abs(1.73627450-1.73608276)×7.41791941408221e-05×R²
    0.000191739999999996×7.41791941408221e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.41791941408221e-05×40589641000000     		ar = 273455.345779126m²