Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25434 / 24550
↖ ↑ ↗
← S 66.399160°
E 99.426270°		 ← 489.07 m → S 66.399160°
E 99.437256°		 →
↑
489.04 m
↓
↑
489.04 m
↓
S 66.403558°
E 99.426270°		 ← 488.99 m →
239 154 m²		 S 66.403558°
E 99.437256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776199340820312 y=0.749221801757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776199340820312 × 215)
    floor (0.776199340820312 × 32768)
    floor (25434.5)     		tx = 25434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749221801757812 × 215)
    floor (0.749221801757812 × 32768)
    floor (24550.5)     		ty = 24550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25434 / 24550 ti = "15/25434/24550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25434/24550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25434 ÷ 215
    25434 ÷ 32768     		x = 0.77618408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24550 ÷ 215
    24550 ÷ 32768     		y = 0.74920654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77618408203125 × 2 - 1) × π
    0.5523681640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73531577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74920654296875 × 2 - 1) × π
    -0.4984130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56581088918951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73531577} λ = 1.73531577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56581088918951))-π/2
    2×atan(0.208918534687166)-π/2
    2×0.205956182140278-π/2
    0.411912364280557-1.57079632675     		φ = -1.15888396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73531577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.426270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15888396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.399160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25434 KachelY 24550 1.73531577 -1.15888396 99.426270 -66.399160
    Oben rechts KachelX + 1 25435 KachelY 24550 1.73550751 -1.15888396 99.437256 -66.399160
    Unten links KachelX 25434 KachelY + 1 24551 1.73531577 -1.15896072 99.426270 -66.403558
    Unten rechts KachelX + 1 25435 KachelY + 1 24551 1.73550751 -1.15896072 99.437256 -66.403558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15888396--1.15896072) × R
    7.6760000000009e-05 × 6371000     		dl = 489.037960000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15888396--1.15896072) × R
    7.6760000000009e-05 × 6371000     		dr = 489.037960000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73531577-1.73550751) × cos(-1.15888396) × R
    0.000191739999999996 × 0.400362469437675 × 6371000     		do = 489.07299979905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73531577-1.73550751) × cos(-1.15896072) × R
    0.000191739999999996 × 0.400292128705758 × 6371000     		du = 488.987073281475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15888396)-sin(-1.15896072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400362469437675-0.400292128705758)×R²
    abs(1.73550751-1.73531577)×7.03407319163629e-05×R²
    0.000191739999999996×7.03407319163629e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.03407319163629e-05×40589641000000     		ar = 239154.251566248m²