Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25432 / 24376
↖ ↑ ↗
← S 65.622023°
E 99.404297°		 ← 504.24 m → S 65.622023°
E 99.415283°		 →
↑
504.14 m
↓
↑
504.14 m
↓
S 65.626557°
E 99.404297°		 ← 504.15 m →
254 182 m²		 S 65.626557°
E 99.415283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776138305664062 y=0.743911743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776138305664062 × 215)
    floor (0.776138305664062 × 32768)
    floor (25432.5)     		tx = 25432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743911743164062 × 215)
    floor (0.743911743164062 × 32768)
    floor (24376.5)     		ty = 24376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25432 / 24376 ti = "15/25432/24376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25432/24376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25432 ÷ 215
    25432 ÷ 32768     		x = 0.776123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24376 ÷ 215
    24376 ÷ 32768     		y = 0.743896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776123046875 × 2 - 1) × π
    0.55224609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73493227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743896484375 × 2 - 1) × π
    -0.48779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53244680705396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73493227} λ = 1.73493227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53244680705396))-π/2
    2×atan(0.216006493974325)-π/2
    2×0.212737985180594-π/2
    0.425475970361189-1.57079632675     		φ = -1.14532036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73493227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.404297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14532036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.622023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25432 KachelY 24376 1.73493227 -1.14532036 99.404297 -65.622023
    Oben rechts KachelX + 1 25433 KachelY 24376 1.73512402 -1.14532036 99.415283 -65.622023
    Unten links KachelX 25432 KachelY + 1 24377 1.73493227 -1.14539949 99.404297 -65.626557
    Unten rechts KachelX + 1 25433 KachelY + 1 24377 1.73512402 -1.14539949 99.415283 -65.626557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14532036--1.14539949) × R
    7.91300000000383e-05 × 6371000     		dl = 504.137230000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14532036--1.14539949) × R
    7.91300000000383e-05 × 6371000     		dr = 504.137230000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73493227-1.73512402) × cos(-1.14532036) × R
    0.000191749999999935 × 0.412754359208324 × 6371000     		do = 504.236925817317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73493227-1.73512402) × cos(-1.14539949) × R
    0.000191749999999935 × 0.412682282958725 × 6371000     		du = 504.148874641814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14532036)-sin(-1.14539949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412754359208324-0.412682282958725)×R²
    abs(1.73512402-1.73493227)×7.20762495989846e-05×R²
    0.000191749999999935×7.20762495989846e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.20762495989846e-05×40589641000000     		ar = 254182.412240066m²