Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25431 / 24379
↖ ↑ ↗
← S 65.635623°
E 99.393310°		 ← 503.97 m → S 65.635623°
E 99.404297°		 →
↑
503.88 m
↓
↑
503.88 m
↓
S 65.640155°
E 99.393310°		 ← 503.88 m →
253 921 m²		 S 65.640155°
E 99.404297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776107788085938 y=0.744003295898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776107788085938 × 215)
    floor (0.776107788085938 × 32768)
    floor (25431.5)     		tx = 25431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744003295898438 × 215)
    floor (0.744003295898438 × 32768)
    floor (24379.5)     		ty = 24379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25431 / 24379 ti = "15/25431/24379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25431/24379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25431 ÷ 215
    25431 ÷ 32768     		x = 0.776092529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24379 ÷ 215
    24379 ÷ 32768     		y = 0.743988037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776092529296875 × 2 - 1) × π
    0.55218505859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73474052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743988037109375 × 2 - 1) × π
    -0.48797607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5330220498494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73474052} λ = 1.73474052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5330220498494))-π/2
    2×atan(0.215882273526782)-π/2
    2×0.212619299290843-π/2
    0.425238598581686-1.57079632675     		φ = -1.14555773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73474052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.393310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14555773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.635623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25431 KachelY 24379 1.73474052 -1.14555773 99.393310 -65.635623
    Oben rechts KachelX + 1 25432 KachelY 24379 1.73493227 -1.14555773 99.404297 -65.635623
    Unten links KachelX 25431 KachelY + 1 24380 1.73474052 -1.14563682 99.393310 -65.640155
    Unten rechts KachelX + 1 25432 KachelY + 1 24380 1.73493227 -1.14563682 99.404297 -65.640155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14555773--1.14563682) × R
    7.90900000000594e-05 × 6371000     		dl = 503.882390000378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14555773--1.14563682) × R
    7.90900000000594e-05 × 6371000     		dr = 503.882390000378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73474052-1.73493227) × cos(-1.14555773) × R
    0.000191750000000157 × 0.412538140926684 × 6371000     		do = 503.972785078482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73474052-1.73493227) × cos(-1.14563682) × R
    0.000191750000000157 × 0.41246609336591 × 6371000     		du = 503.884768950373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14555773)-sin(-1.14563682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412538140926684-0.41246609336591)×R²
    abs(1.73493227-1.73474052)×7.20475607744464e-05×R²
    0.000191750000000157×7.20475607744464e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.20475607744464e-05×40589641000000     		ar = 253920.836684367m²