Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2543 / 610
↖ ↑ ↗
← N 77.427823°
E 43.505859°		 ← 2 127.28 m → N 77.427823°
E 43.593750°		 →
↑
2 128.87 m
↓
↑
2 128.87 m
↓
N 77.408678°
E 43.505859°		 ← 2 130.47 m →
4 532 093 m²		 N 77.408678°
E 43.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6209716796875 y=0.1490478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6209716796875 × 212)
    floor (0.6209716796875 × 4096)
    floor (2543.5)     		tx = 2543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1490478515625 × 212)
    floor (0.1490478515625 × 4096)
    floor (610.5)     		ty = 610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2543 / 610 ti = "12/2543/610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2543/610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2543 ÷ 212
    2543 ÷ 4096     		x = 0.620849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 610 ÷ 212
    610 ÷ 4096     		y = 0.14892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620849609375 × 2 - 1) × π
    0.24169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75932049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14892578125 × 2 - 1) × π
    0.7021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2058643729165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75932049} λ = 0.75932049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2058643729165))-π/2
    2×atan(9.07809503701035)-π/2
    2×1.46108338999285-π/2
    2.92216677998571-1.57079632675     		φ = 1.35137045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75932049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.505859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35137045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.427823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2543 KachelY 610 0.75932049 1.35137045 43.505859 77.427823
    Oben rechts KachelX + 1 2544 KachelY 610 0.76085447 1.35137045 43.593750 77.427823
    Unten links KachelX 2543 KachelY + 1 611 0.75932049 1.35103630 43.505859 77.408678
    Unten rechts KachelX + 1 2544 KachelY + 1 611 0.76085447 1.35103630 43.593750 77.408678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35137045-1.35103630) × R
    0.000334149999999811 × 6371000     		dl = 2128.8696499988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35137045-1.35103630) × R
    0.000334149999999811 × 6371000     		dr = 2128.8696499988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75932049-0.76085447) × cos(1.35137045) × R
    0.00153397999999993 × 0.217669301774042 × 6371000     		do = 2127.27916511559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75932049-0.76085447) × cos(1.35103630) × R
    0.00153397999999993 × 0.217995427560739 × 6371000     		du = 2130.46638805237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35137045)-sin(1.35103630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217669301774042-0.217995427560739)×R²
    abs(0.76085447-0.75932049)×0.000326125786697024×R²
    0.00153397999999993×0.000326125786697024×6371000²
    0.00153397999999993×0.000326125786697024×40589641000000     		ar = 4532092.68495113m²