Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2543 / 1518
↖ ↑ ↗
← N 81.154241°
W124.123535°		 ← 375.72 m → N 81.154241°
W124.101562°		 →
↑
375.83 m
↓
↑
375.83 m
↓
N 81.150861°
W124.123535°		 ← 375.86 m →
141 230 m²		 N 81.150861°
W124.101562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.155242919921875 y=0.092681884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.155242919921875 × 214)
    floor (0.155242919921875 × 16384)
    floor (2543.5)     		tx = 2543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.092681884765625 × 214)
    floor (0.092681884765625 × 16384)
    floor (1518.5)     		ty = 1518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2543 / 1518 ti = "14/2543/1518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2543/1518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2543 ÷ 214
    2543 ÷ 16384     		x = 0.15521240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1518 ÷ 214
    1518 ÷ 16384     		y = 0.0926513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15521240234375 × 2 - 1) × π
    -0.6895751953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.16636437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0926513671875 × 2 - 1) × π
    0.814697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55944694451404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16636437} λ = -2.16636437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55944694451404))-π/2
    2×atan(12.9286650687883)-π/2
    2×1.49360251673038-π/2
    2.98720503346076-1.57079632675     		φ = 1.41640871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16636437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.123535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41640871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.154241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2543 KachelY 1518 -2.16636437 1.41640871 -124.123535 81.154241
    Oben rechts KachelX + 1 2544 KachelY 1518 -2.16598087 1.41640871 -124.101562 81.154241
    Unten links KachelX 2543 KachelY + 1 1519 -2.16636437 1.41634972 -124.123535 81.150861
    Unten rechts KachelX + 1 2544 KachelY + 1 1519 -2.16598087 1.41634972 -124.101562 81.150861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41640871-1.41634972) × R
    5.8990000000092e-05 × 6371000     		dl = 375.825290000586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41640871-1.41634972) × R
    5.8990000000092e-05 × 6371000     		dr = 375.825290000586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16636437--2.16598087) × cos(1.41640871) × R
    0.000383500000000314 × 0.153775028713779 × 6371000     		do = 375.715221493568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16636437--2.16598087) × cos(1.41634972) × R
    0.000383500000000314 × 0.153833316812364 × 6371000     		du = 375.857635551646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41640871)-sin(1.41634972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153775028713779-0.153833316812364)×R²
    abs(-2.16598087--2.16636437)×5.82880985847967e-05×R²
    0.000383500000000314×5.82880985847967e-05×6371000²
    0.000383500000000314×5.82880985847967e-05×40589641000000     		ar = 141230.043519628m²