Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25428 / 41076
↖ ↑ ↗
← S 41.459195°
W 40.319824°		 ← 457.79 m → S 41.459195°
W 40.314331°		 →
↑
457.76 m
↓
↑
457.76 m
↓
S 41.463312°
W 40.319824°		 ← 457.76 m →
209 549 m²		 S 41.463312°
W 40.314331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388008117675781 y=0.626777648925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388008117675781 × 216)
    floor (0.388008117675781 × 65536)
    floor (25428.5)     		tx = 25428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626777648925781 × 216)
    floor (0.626777648925781 × 65536)
    floor (41076.5)     		ty = 41076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25428 / 41076 ti = "16/25428/41076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25428/41076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25428 ÷ 216
    25428 ÷ 65536     		x = 0.38800048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41076 ÷ 216
    41076 ÷ 65536     		y = 0.62677001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38800048828125 × 2 - 1) × π
    -0.2239990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.70371369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62677001953125 × 2 - 1) × π
    -0.2535400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.796519524086853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70371369} λ = -0.70371369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.796519524086853))-π/2
    2×atan(0.450895567435019)-π/2
    2×0.42359843110597-π/2
    0.84719686221194-1.57079632675     		φ = -0.72359946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70371369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.319824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72359946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.459195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25428 KachelY 41076 -0.70371369 -0.72359946 -40.319824 -41.459195
    Oben rechts KachelX + 1 25429 KachelY 41076 -0.70361781 -0.72359946 -40.314331 -41.459195
    Unten links KachelX 25428 KachelY + 1 41077 -0.70371369 -0.72367131 -40.319824 -41.463312
    Unten rechts KachelX + 1 25429 KachelY + 1 41077 -0.70361781 -0.72367131 -40.314331 -41.463312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72359946--0.72367131) × R
    7.18499999999844e-05 × 6371000     		dl = 457.756349999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72359946--0.72367131) × R
    7.18499999999844e-05 × 6371000     		dr = 457.756349999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70371369--0.70361781) × cos(-0.72359946) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.74942743528012 × 6371000     		do = 457.788857993165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70371369--0.70361781) × cos(-0.72367131) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.749379862431477 × 6371000     		du = 457.759798048164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72359946)-sin(-0.72367131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74942743528012-0.749379862431477)×R²
    abs(-0.70361781--0.70371369)×4.75728486423188e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.75728486423188e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.75728486423188e-05×40589641000000     		ar = 209549.105608306m²